設(shè)橢圓數(shù)學公式的兩個焦點是F1(-c,0),F(xiàn)2(c,0)(c>0).
(1)設(shè)E是直線y=x+2與橢圓的一個公共點,求使得|EF1|+|EF2|取最小值時橢圓的方程;
(2)已知N(0,-1)設(shè)斜率為k(k≠0)的直線l與條件(1)下的橢圓交于不同的兩點A,B,點Q滿足數(shù)學公式,且數(shù)學公式,求直線l在y軸上截距的取值范圍.

解:(1)由題意,知m+1>1,即m>0.

得(m+2)x2+4(m+1)x+3(m+1)=0.
由△=16(m+1)2-12(m+2)(m+1)=4(m+1)(m-2)≥0,
解得m≥2,或m≤-1(舍去)∴m≥2(3分)
此時
當且僅當m=2時,|EF1|+|EF2|.取得最小值,
此時橢圓方程為
(2)設(shè)直線l的方程為y=kx+t.
由方程組,
消去y得(1+3k2)x2+6ktx+3t2-3=0.∵直線l與橢圓交于不同兩點A、B∴△=(6kt)2-4(1+3k2)(3t2-3)>0,
即t2<1+3k2
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),

,得Q為線段AB的中點,
.∵
∴kAB•kQN=-1,[來源:學,科,即
化簡得1+3k2=2t.代入①得t2<2t,解得0<t<2.
又由
所以,直線l在y軸上的截距t的取值范圍是
分析:(1)由題意知m>0.由,得(m+2)x2+4(m+1)x+3(m+1)=0.由△≥0,得m≥2,或m≤-1(舍去).此時.由此能求出橢圓方程.
(2)設(shè)直線l的方程為y=kx+t.由方程組,得(1+3k2)x2+6ktx+3t2-3=0.由△>0,知t2<1+3k2,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則.由,得Q為線段AB的中點,由此能求出截距t的取值范圍.
點評:本題考查橢圓方程的求法和截距t的取值范圍.解題時要認真審題,利用橢圓性質(zhì)注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知點F1,F(xiàn)2為橢圓
x2
2
+y2=1
的兩個焦點,點O為坐標原點,圓O是以F1,F(xiàn)2為直徑的圓,一條直線與圓O相切并與橢圓交于不同的兩點A,B.
(1)設(shè)b=f(k),求f(k)的表達式;
(2)若
OA
OB
=
2
3
,求直線l的方程;
(3)若
OA
OB
=m,(
2
3
≤m≤
3
4
)
,求三角形OAB面積的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

下列說法中,正確的有
 

①若點P(x0,y0)是拋物線y2=2px上一點,則該點到拋物線的焦點的距離是|PF|=x0+
p
2
;
②設(shè)F1、F2為雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1的兩個焦點,P(x0,y0)為雙曲線上一動點,∠F1PF2=θ,則△PF1F2的面積為b2tan
θ
2
;
③設(shè)定圓O上有一動點A,圓O內(nèi)一定點M,AM的垂直平分線與半徑OA的交點為點P,則P的軌跡為一橢圓;
④設(shè)拋物線焦點到準線的距離為p,過拋物線焦點F的直線交拋物線于A、B兩點,則
1
|AF|
、
1
p
、
1
|BF|
成等差數(shù)列.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設(shè)橢圓C1的方程為(ab>0),曲線C2的方程為y=,且曲線C1C2在第一象限內(nèi)只有一個公共點P.

(1)試用a表示點P的坐標;

(2)設(shè)A、B是橢圓C1的兩個焦點,當a變化時,求△ABP的面積函數(shù)S(a)的值域;

(3)記min{y1,y2,……,yn}為y1,y2,……,yn中最小的一個. 設(shè)g(a)是以橢圓C1的半焦距為邊長的正方形的面積,試求函數(shù)f(a)=min{g(a), S(a)}的表達式.

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科目:高中數(shù)學 來源:2010-2011學年浙江省臺州中學高三(上)第二次統(tǒng)練數(shù)學試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

已知點F1,F(xiàn)2為橢圓的兩個焦點,點O為坐標原點,圓O是以F1,F(xiàn)2為直徑的圓,一條直線與圓O相切并與橢圓交于不同的兩點A,B.
(1)設(shè)b=f(k),求f(k)的表達式;
(2)若,求直線l的方程;
(3)若,求三角形OAB面積的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源:2010-2011學年浙江省臺州中學(上)第二次統(tǒng)練數(shù)學試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

已知點F1,F(xiàn)2為橢圓的兩個焦點,點O為坐標原點,圓O是以F1,F(xiàn)2為直徑的圓,一條直線與圓O相切并與橢圓交于不同的兩點A,B.
(1)設(shè)b=f(k),求f(k)的表達式;
(2)若,求直線l的方程;
(3)若,求三角形OAB面積的取值范圍.

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