Question

（本題滿(mǎn)分12分）
設(shè)函數(shù)，
(1) 如果且對(duì)任意實(shí)數(shù)均有,求的解析式；
(2) 在(1)在條件下, 若在區(qū)間是單調(diào)函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(3) 已知且為偶函數(shù)，如果，求證：．

Answer 1

（1）；（2）的取值范圍是；
（3） ．

試題分析： (1) 根據(jù)二次函數(shù)的函數(shù)值f(1)=0和函數(shù)值恒大于等于零得到及解析式。
(2) 在(1)在條件下,要是函數(shù)單調(diào)遞增，則根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸與定義域的關(guān)系分類(lèi)討論得到。
(3) 結(jié)合奇偶性的性質(zhì)，以及函數(shù)單調(diào)性得到不等式的證明。
解（1）∵，∴（1分）
對(duì)任意實(shí)數(shù)均有恒成立，
即對(duì)任意實(shí)數(shù)均有恒成立（2分）
當(dāng)時(shí)，，這時(shí),，它不滿(mǎn)足恒成立（3分）
當(dāng)時(shí)，則且
,（4分）
從而,∴（5分）
（2）由（1）知
∴=（6分）
在區(qū)間是單調(diào)函數(shù)
或，即或
的取值范圍是（7分）
（3） ∵是偶函數(shù)，∴（8分）
故,   （9分）
∵,∴當(dāng)時(shí)
中至少有一個(gè)正數(shù)，即都是正數(shù)或一個(gè)正數(shù)，一個(gè)負(fù)數(shù)
若都是正數(shù)，則，所以（10分）
若一個(gè)正數(shù)，一個(gè)負(fù)數(shù)，不妨設(shè)，又
則=（11分）
綜上可得，．（12分）
點(diǎn)評(píng)：解決該試題的關(guān)鍵是能通過(guò)解析式的特點(diǎn)以及二次函數(shù)的性質(zhì)，來(lái)得到判別式小于等于零，從而得到解析式。