Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C： =1（a＞1）的左、右頂點(diǎn)分別為A、B，P是橢圓C上任一點(diǎn)，且點(diǎn)P位于第一象限．直線PA交y軸于點(diǎn)Q，直線PB交y軸于點(diǎn)R．當(dāng)點(diǎn)Q坐標(biāo)為（0，1）時(shí)，點(diǎn)R坐標(biāo)為（0，2）

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求證： 為定值；
（3）求證：過(guò)點(diǎn)R且與直線QB垂直的直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可得A（﹣a，0），B（a，0），

當(dāng)點(diǎn)Q坐標(biāo)為（0，1）時(shí)，點(diǎn)R坐標(biāo)為（0，2），

即有kPA= ，直線PA：y= x+1，

kPB=﹣ ，直線PA：y=﹣ x+2，

解得交點(diǎn)P（ ， ），

代入橢圓方程可得 + =1，

解得a= ，

則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 =1

（2）證明：設(shè)Q（0，s），R（0，t），

由橢圓的方程可得A（﹣ ，0），B（ ，0），

即有直線PA：y= x+s，直線PB的方程為y=﹣ x+t，

解得交點(diǎn)P（ ， ），

代入橢圓方程可得 + =1，

化簡(jiǎn)可得st=2，

即有 =st=2為定值；

（3）證明：由（2）可得st=2，即t= ，

直線QB的斜率為k=﹣ ，

即有過(guò)點(diǎn)R且與直線QB垂直的直線方程為y= x+t，

即為y= ，令x=﹣ ，可得y=0，

則過(guò)點(diǎn)R且與直線QB垂直的直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，坐標(biāo)為（﹣ ，0）

【解析】（1）求得A，B的坐標(biāo)，直線PA，PB的方程，求交點(diǎn)P，代入橢圓方程，解方程，可得a，進(jìn)而得到橢圓方程；（2）設(shè)Q（0，s），R（0，t），求得直線PA，PB的方程，求交點(diǎn)P，代入橢圓方程，化簡(jiǎn)整理可得st=2，再由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示可得定值；（3）求得QB的斜率，運(yùn)用兩直線垂直的條件：斜率之積為﹣1，求得垂線的方程，由st=2，代入，結(jié)合直線恒過(guò)定點(diǎn)的求法，可得定點(diǎn)．