【題目】已知函數(shù)f(x)=kx3+3(k﹣1)x2﹣k2+1在x=0,x=4處取得極值.
(1)求常數(shù)k的值;
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值;
(3)設(shè)g(x)=f(x)+c,且x∈[﹣1,2],g(x)≥2c+1恒成立,求c的取值范圍.

【答案】
(1)解:f'(x)=3kx2+6(k﹣1)x,由于在x=0,x=4處取得極值,

∴f'(0)=0,f'(4)=0,

可求得


(2)解:由(1)可知 ,f'(x)=x2﹣4x=x(x﹣4),f'(x),f(x)隨x的變化情況如下表:

x

(﹣∞,0)

0

(0,4)

4

(4,+∞)

f'(x)

+

0

0

+

f(x)

極大值

極小值

∴當(dāng)x<0或x>4,f(x)為增函數(shù),0≤x≤4,f(x)為減函數(shù);

∴極大值為 ,極小值為


(3)解:要使命題成立,需使g(x)的最小值不小于2c+1

由(2)得:


【解析】(1)因?yàn)楹瘮?shù)兩個(gè)極值點(diǎn)已知,令f′(x)=3kx2+6(k﹣1)x=0,把0和4代入求出k即可.(2)利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,f′(x)=3kx2+6(k﹣1)x=x2﹣4x=x(x﹣4)大于零和小于零分別求出遞增和遞減區(qū)間即可,把函數(shù)導(dǎo)數(shù)為0的x值代到f(x)中,通過(guò)表格,判斷極大、極小值即可.(3)要使命題成立,需使g(x)的最小值不小于2c+1,由(2)得:g(﹣1)和g(2)其中較小的即為g(x)的最小值,列出不等關(guān)系即可求得c的取值范圍.
【考點(diǎn)精析】利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減;極值反映的是函數(shù)在某一點(diǎn)附近的大小情況.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】2017年10月18日至24日,中國(guó)共產(chǎn)黨第十九次全國(guó)人民代表大會(huì)在北京順利召開(kāi).大會(huì)期間,北京某高中舉辦了一次“喜迎十九大”的讀書(shū)讀報(bào)知識(shí)競(jìng)賽,參賽選手為從高一年級(jí)和高二年級(jí)隨機(jī)抽取的各100名學(xué)生.圖1和圖2分別是高一年級(jí)和高二年級(jí)參賽選手成績(jī)的頻率分布直方圖.

(1)分別計(jì)算參加這次知識(shí)競(jìng)賽的兩個(gè)年級(jí)學(xué)生的平均成績(jī);

(2)若稱(chēng)成績(jī)?cè)?8分以上的學(xué)生知識(shí)淵博,試以上述數(shù)據(jù)估計(jì)該高一、高二兩個(gè)年級(jí)學(xué)生的知識(shí)淵博率;

(3)完成下面2×2列聯(lián)表,并回答能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.010的前提下,認(rèn)為高一、高二兩個(gè)年級(jí)學(xué)生這次讀書(shū)讀報(bào)知識(shí)競(jìng)賽的成績(jī)有差異.

分類(lèi)

成績(jī)低于60分人數(shù)

成績(jī)不低于60分人數(shù)

總計(jì)

高一年級(jí)

高二年級(jí)

總計(jì)

附:

P(K2≥k)

0.100

0.050

0.025

0.010

0.001

k

2.706

3.841

5.024

6.635

10.828

K2.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知橢圓 的離心率為 ,左右焦點(diǎn)分別為F1 , F2 , 以橢圓短軸為直徑的圓與直線(xiàn) 相切.
(Ⅰ)求橢圓E的方程;
(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)F1、斜率為k1的直線(xiàn)l1與橢圓E交于A,B兩點(diǎn),過(guò)點(diǎn)F2、斜率為k2的直線(xiàn)l2與橢圓E交于C,D兩點(diǎn),且直線(xiàn)l1 , l2相交于點(diǎn)P,若直線(xiàn)OA,OB,OC,OD的斜率kOA , kOB , kOC , kOD滿(mǎn)足kOA+kOB=kOC+kOD , 求證:動(dòng)點(diǎn)P在定橢圓上,并求出此橢圓方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】先閱讀下列題目的證法,再解決后面的問(wèn)題.

已知a1,a2∈R,且a1+a2=1,求證:a+a.

證明:構(gòu)造函數(shù)f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2,則f(x)=2x2-2(a1+a2)x+a+a=2x2-2x+a+a.

因?yàn)閷?duì)一切x∈R,恒有f(x)≥0,

所以Δ=4-8(a+a)≤0,從而得a+a.

(1)若a1,a2,…,an∈R,a1+a2+…+an=1,請(qǐng)由上述結(jié)論寫(xiě)出關(guān)于a1,a2,…,an的推廣式;

(2)參考上述證法,請(qǐng)對(duì)你推廣的結(jié)論加以證明.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知等差數(shù)列{an}的公差d>0,且a1a6=11,a3+a4=12.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列{ }的前n項(xiàng)和Tn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖所示,在圓心角為90°的扇形AOB中,以圓心O作為起點(diǎn)作射線(xiàn)OC,OD,則使∠AOC+∠BOD<45°的概率為(  )

A. B. C. D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】某大學(xué)為調(diào)查來(lái)自南方和北方的同齡大學(xué)生的身高差異,從2016級(jí)的年齡在18~19歲之間的大學(xué)生中隨機(jī)抽取了來(lái)自南方和北方的大學(xué)生各10名,測(cè)量他們的身高,量出的身高如下(單位:cm):

南方:158,170,166,169,180,175,171,176,162,163.

北方:183,173,169,163,179,171,157,175,184,166.

(1)根據(jù)抽測(cè)結(jié)果,畫(huà)出莖葉圖,對(duì)來(lái)自南方和北方的大學(xué)生的身高作比較,寫(xiě)出統(tǒng)計(jì)結(jié)論.

(2)設(shè)抽測(cè)的10名南方大學(xué)生的平均身高為x cm,將10名南方大學(xué)生的身高依次輸入如圖所示的程序框圖進(jìn)行運(yùn)算,問(wèn)輸出的s大小為多少?并說(shuō)明s的統(tǒng)計(jì)學(xué)意義.

(3)為進(jìn)一步調(diào)查身高與生活習(xí)慣的關(guān)系,現(xiàn)從來(lái)自南方的這10名大學(xué)生中隨機(jī)抽取2名身高不低于170 cm的學(xué)生,求身高為176 cm的學(xué)生被抽中的概率.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且滿(mǎn)足向量 =(cosA,cosB), =(a,2c﹣b),
(1)求角A的大;
(2)若a=2 ,求△ABC面積的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C: =1(a>1)的左、右頂點(diǎn)分別為A、B,P是橢圓C上任一點(diǎn),且點(diǎn)P位于第一象限.直線(xiàn)PA交y軸于點(diǎn)Q,直線(xiàn)PB交y軸于點(diǎn)R.當(dāng)點(diǎn)Q坐標(biāo)為(0,1)時(shí),點(diǎn)R坐標(biāo)為(0,2)

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)求證: 為定值;
(3)求證:過(guò)點(diǎn)R且與直線(xiàn)QB垂直的直線(xiàn)經(jīng)過(guò)定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

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