Question

已知函數(shù)f（x）=ln（x-1）-k（x-1）+1 
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若 f（x）≤0恒成立，式確定實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：本題（1）先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)值的正負(fù)，研究函數(shù)的單調(diào)性，注意要分類研究；（2）要使 f（x）≤0恒成立，就要求函數(shù)的最大值小于0，利用（1）的結(jié)論，得到求出函數(shù)最大值，得到相應(yīng)的不等關(guān)系，解不等式，得到本題結(jié)論．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=ln（x-1）-k（x-1）+1，
∴f′（x）=

1

x-1

-k，（x＞1），
∴當(dāng)k≤0時，f′（x）＞0，∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增；
當(dāng)k＞0時，令

1

x-1

-k＞0，則1＜x＜1+

1

k

，∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，1+

1

k

）上單調(diào)遞增；
          令

1

x-1

-k＜0，則x＞1+

1

k

，∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（1+

1

k

，+∞）上單調(diào)遞減．
綜上，當(dāng)k≤0時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增區(qū)間為（1，+∞）；
當(dāng)k＞0時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增區(qū)間為（1，1+

1

k

），單調(diào)遞減區(qū)間為（1+

1

k

，+∞）．
（2）由（1）知：當(dāng)k＞0時，函數(shù)f（x）的最大值為：f（1+

1

k

）=ln

1

k

=-lnk．
∵f（x）≤0恒成立，
∴-lnk＜0，
∴k＞1．

點評：本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、最值和恒成立問題，本題難度不大，屬于基礎(chǔ)題．