Question

7．扣人心弦的2014巴西足球世界杯已落下了帷幕，德國(guó)戰(zhàn)車再次舉起大力神杯，某市足協(xié)為了解市民對(duì)該屆世界杯的關(guān)注度，針對(duì)某種與世界杯有關(guān)的吉祥物的銷售情況組織了一次隨機(jī)調(diào)查，以下是某商店根據(jù)以往某種吉祥物的銷售記錄繪制的頻率分布直方圖，如圖所示．將日銷售量落入各組的頻率視為概率，并假設(shè)每天的銷售量相互獨(dú)立．
（1）估計(jì)日銷售量的眾數(shù)；
（2）求在未來(lái)連續(xù)3天里，有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個(gè)且另1天的日銷售量低于50個(gè)的概率；
（3）用X表示在未來(lái)3天里日銷售量不低于100個(gè)的天數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列，期望E（X）及方差D（X）．

Answer 1

分析 （1）直接利用頻率分布直方圖，估計(jì)日銷售量的眾數(shù)即可；
（2）求出“日銷售量不低于100個(gè)”，“日銷售量低于50個(gè)”的概率，然后求在未來(lái)連續(xù)3天里，有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個(gè)且另1天的日銷售量低于50個(gè)的概率；
（3）推出X的可能值，分別求出X的概率，即可求隨機(jī)變量X的分布列，利用公式求解數(shù)學(xué)期望E（X）及方差D（X）．

解答 解：（1）依據(jù)日銷售量的頻率分布直方圖可得眾數(shù)為$\frac{100+150}{2}=125$．
（2）記事件A₁：“日銷售量不低于100個(gè)”，事件A₂：“日銷售量低于50個(gè)”，
事件B：“在未來(lái)連續(xù)3天里，有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個(gè)且另1天的日銷售量低于50個(gè)”．
則P（A₁）=（0.006+0.004+0.002）×50=0.6，P（A₂）=0.003×50=0.15，
P（B）=0.6×0.6×0.15×2=0.108；
（3）X的可能取值為0，1，2，3．
$P（X=0）={C}_{3}^{0}{（1-0.6）}^{3}=0.064$，
$P（X=1）={C}_{3}^{1}×0.6×{（1-0.6）}^{2}=0.288$，
$P（X=2）={C}_{3}^{2}×{0.6}^{2}×（1-0.6）=0.432$，$P（X=3）={C}_{3}^{3}×{0.6}^{3}=0.216$
X的分布列為

X	0	1	2	3
P	0.064	0.288	0.432	0.216

因?yàn)閄～B（3，0.6），所以數(shù)學(xué)期望E（X）=3×0.6=1.8，
方差D（X）=3×0.6×（1-0.6）=0.72

點(diǎn)評(píng) 解決好離散型隨機(jī)變量的期望和方差要注意首先要讀懂題意，從具體的問(wèn)題情境中抽象出相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，如二項(xiàng)分布，超幾何分布，獨(dú)立事件，古典概型等，要做到運(yùn)算穩(wěn)，準(zhǔn)，狠．