（本題滿分12分）
如圖，四邊形ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD.

(1)證明：平面PQC⊥平面DCQ；
(2)求二面角Q－BP－C的余弦值．

（I）建立空間直角坐標(biāo)系后，計(jì)算證得PQ⊥DQ，PQ⊥DC.PQ⊥平面DCQ.
再據(jù)PQ平面PQC，得到平面PQC⊥平面DCQ.   （II） 

解析試題分析：如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段DA的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)，射線DA為x軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系D—xyz.

（I）依題意有Q（1，1，0），C（0，0，1），P（0，2，0）.
則
所以
即PQ⊥DQ，PQ⊥DC.
故PQ⊥平面DCQ.
又PQ平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ.  …………6分
（II）依題意有B（1，0，1），
設(shè)是平面PBC的法向量，則
因此可取
設(shè)m是平面PBQ的法向量，則
可取
故二面角Q—BP—C的余弦值為   ………………12分
考點(diǎn)：本題主要考查立體幾何中的垂直關(guān)系，角的計(jì)算，空間向量的應(yīng)用。
點(diǎn)評(píng)：典型題，立體幾何題，是高考必考內(nèi)容，往往涉及垂直關(guān)系、平行關(guān)系、角、距離的計(jì)算。在計(jì)算問題中，有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法，要遵循“一作、二證、三計(jì)算”的步驟，利用向量則能簡(jiǎn)化證明過程。

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（本小題滿分14分）
如圖1，在等腰梯形CDEF中，CB、DA是梯形的高，，,現(xiàn)將梯形沿CB、DA折起，使且，得一簡(jiǎn)單組合體如圖2示，已知分別為的中點(diǎn)．

圖1                                圖2
（1）求證：平面；
（2）求證：；
（3）當(dāng)多長(zhǎng)時(shí)，平面與平面所成的銳二面角為？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（本小題滿分12分）
如圖1，在Rt中，，.D、E分別是上的點(diǎn)，且，將沿折起到的位置，使，如圖2．

（Ⅰ）求證：平面平面；
（Ⅱ）若，求與平面所成角的余弦值；
（Ⅲ）當(dāng)點(diǎn)在何處時(shí)，的長(zhǎng)度最小，并求出最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

正三棱柱中，E為AC中點(diǎn)

（1）求證： 
（2）求證：，

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（本小題滿分12分）
如圖，棱柱的側(cè)面是菱形，

（1）證明：平面平面；
（2）設(shè)是上的點(diǎn)，且平面，求的值.

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(14分)如圖，在三棱錐S—ABC中，是邊長(zhǎng)為4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA =" SC" =，M、N分別為AB、SB的中點(diǎn)。

⑴ 求證：AC⊥SB；
⑵ 求二面角N—CM—B的正切值；
⑶ 求點(diǎn)B到平面CMN的距離。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（本小題滿分12分）
在如圖所示的四棱錐中，已知 PA⊥平面ABCD， ， ，，
為的中點(diǎn)．

（1）求證：MC∥平面PAD；
（2）求直線MC與平面PAC所成角的余弦值；
（3）求二面角的平面角的正切值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（本小題滿分12分）
如圖，菱形ABCD與矩形BDEF所在平面互相垂直，．

（1）求證：FC∥平面AED；
（2）若，當(dāng)二面角為直二面角時(shí)，求k的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在直三棱柱中，，分別是棱上的點(diǎn)（點(diǎn) 不同于點(diǎn)），且為的中點(diǎn)．

求證：（1）平面平面；
（2）直線平面．

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