Question

9．已知圓O：x²+y²=1，P是直線l：x=4上任意一點，過P作圓O的兩條切線，切點為A、B．
（1）求證：直線AB過定點；
（2）求證：四邊形PAOB的外接圓過除原點外的定點．

Answer 1

分析 （1）設(shè)P（4，2a），可得四邊形PAOB的外接圓方程為（x-2）²+（y-a）²=4+a²，與圓O：x²+y²=1相減可得直線AB的方程為4x+2ay-1=0，令y=0，可得直線AB過定點（$\frac{1}{4}$，0）；
（2）四邊形PAOB的外接圓方程為（x-2）²+（y-a）²=4+a²，即x²-4x+y²-2ay=0，令y=0，可得x²-4x=0，即可證明四邊形PAOB的外接圓過除原點外的定點（4，0）．

解答 證明：（1）設(shè)P（4，2a），則四邊形PAOB的外接圓方程為（x-2）²+（y-a）²=4+a²，
與圓O：x²+y²=1相減可得直線AB的方程為4x+2ay-1=0，
∴直線AB過定點（$\frac{1}{4}$，0）；
（2）四邊形PAOB的外接圓方程為（x-2）²+（y-a）²=4+a²，
即x²-4x+y²-2ay=0，
令y=0，可得x²-4x=0，∴x=0或4，
∴四邊形PAOB的外接圓過除原點外的定點（4，0）．

點評 本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，確定四邊形PAOB的外接圓方程是關(guān)鍵．