Question

若f（x）是奇函數(shù)，且在（-∞，0）上是增函數(shù)，又f（-2）=0，則滿足（x+1）f（x-1）＞0的x的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系，將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，且在（-∞，0）上是增函數(shù)，又f（-2）=0，
∴f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，且f（2）=-f（-2）=0，
∴當(dāng)x＞2或-2＜x＜0時，f（x）＞0，當(dāng)x＜-2或0＜x＜2時，f（x）＜0，
則不等式（x+1）f（x-1）＞0等價為：

x+1＞0 f(x-1)＞0

或

x+1＜0 f(x-1)＜0

，
即

x＞-1 x-1＞0或-2＜x-1＜0

或

x＜-1 x-1＜-2或0＜x-1＜2

，
即

x＞-1 x＞1或-1＜x＜1

或

x＜-1 x＜-1或1＜x＜3

，
則x＞1或-1＜x＜1或x＜-1，
故不等式的解集為{x|x＞1或-1＜x＜1或x＜-1}，
故答案為：{x|x＞1或-1＜x＜1或x＜-1}

點(diǎn)評：本題主要考查不等式的解集，利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．