Question

各項均為正數的數列{a_n}中，a₁=1，S_n是數列{a_n}的前n項和，對任意n∈N^*，有2S_n=2pa_n²+pa_n-p（p∈R）
（1）求常數p的值；
（2）求數列{a_n}的通項公式；
（3）記b_n=，求數列{b_n}的前n項和T．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據a₁=1，對任意的n∈N*，有2S_n=2pa_n²+pa_n-p，令n=1，解方程即可求得結果；
（2）由2S_n=2a_n²+a_n-1，知2S_n-1=2a_n-1²+a_n-1-1，（n≥2），所以（a_n-a_n-1-1）（a_n+a_n-1）=0，由此能求出數列{a_n}的通項公式．
（3）根據求出數列{b_n}的通項公式，利用錯位相減法即可求得結果．
解答：解：（1）∵a₁=1，對任意的n∈N*，有2S_n=2pa_n²+pa_n-p
∴2a₁=2pa₁²+pa₁-p，即2=2p+p-p，解得p=1；
（2）2S_n=2a_n²+a_n-1，①
2S_n-1=2a_n-1²+a_n-1-1，（n≥2），②
①-②即得（a_n-a_n-1-）（a_n+a_n-1）=0，
因為a_n+a_n-1≠0，所以a_n-a_n-1-=0，
∴
（3）2S_n=2a_n²+a_n-1=2×，
∴S_n=，
∴=n•2ⁿ
T_n=1×2¹+2×2²+…+n•2ⁿ③
又2T_n=1×2²+2×2³+…+（n-1）•2ⁿ+n2ⁿ⁺¹ ④
④-③T_n=-1×2¹-（2²+2³+…+2ⁿ）+n2ⁿ⁺¹=（n-1）2ⁿ⁺¹+2
∴T_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2
點評：本題考查數列的性質和應用，數列前n項和與數列通項公式的關系，以及錯位相減法求數列的前n項和，考查分析解決問題的能力和運算能力，屬中檔題．