Question

設(shè)函數(shù)f（x）=2-

3

x

．
（Ⅰ）判斷函數(shù)f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性并用定義加以證明；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，5]上的最大值與最小值．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）利用函數(shù)的單調(diào)性的定義，直接證明函數(shù)f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性增函數(shù)即可；
（Ⅱ）利用函數(shù)的單調(diào)性，直接求解函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，5]上的最大值與最小值．

解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，下證之．（1分）
設(shè)x₁，x₂是（0，+∞）上的任意兩個實數(shù)，有x₁＜x₂，則（2分）f(x1)-f(x2)=(2-

3

x1

)-(2-

3

x2

)=

3

x2

-

3

x1

=

3(x1-x2)

x1x2

．（5分）
∵0＜x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，（6分）
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），（7分）
∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)．（8分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知函數(shù)f（x）在[2，5]上為增函數(shù)．（9分）
∴f(x)max=f(5)=

7

5

，f(x)min=f(2)=

1

2

．（12分）

點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性的定義的應(yīng)用，單調(diào)性的證明以及單調(diào)性的應(yīng)用，考查計算能力．