Question

在整數(shù)集Z中，被4除所得余數(shù)為k的所有整數(shù)組成一個(gè)“類”，記為：[k]={4n+k|n∈Z}，k=0，1，2，3．則下列結(jié)論正確的為

 

．
①2014∈[2]；
②-3∈[3]；
③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]；
④若a∈[1]，b∈[2]，則a-b∈[3]；
⑤若整數(shù)a，b屬于同一類，則a-b∈[0]．

Answer 1

考點(diǎn)：進(jìn)行簡單的合情推理

專題：推理和證明

分析：依據(jù)“類”的定義：即若整數(shù)除以4的余數(shù)是k，該整數(shù)就屬于類[k]，直接判斷5個(gè)結(jié)論的真假，可得答案．

解答： 解：由類的定義[k]={4n+k|n∈Z}，k=0，1，2，3，可知，只要整數(shù)m=4n+k，n∈Z，k=0，1，2，3，則m∈[k]．
對于①2014=4×503+2，故2014∈[2]，故①正確；
對于②-3=4×（-1）+1，∴-3∈[1]，故②不正確；
對于③所有的整數(shù)按被4除所得的余數(shù)分成四類，即余數(shù)分別是0，1，2，3的整數(shù)，即四“類”[0]，[1]，[2]，[3]，所以Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]，故③正確；
對于④a∈[1]，b∈[2]，則a=4m+1，b=4n+2，m，n∈Z，則a-b=4（m-n）-1=4（m-n-1）+3，m-n-1∈Z，即a-b∈[3]；故④正確；
對于⑤∵“整數(shù)a，b屬于同一類”不妨令a=4m+k，b=4n+k，m，n∈Z，且k=0，1，2，3，則a-b=4（m-n）+0，∴a-b∈[0]；
反之，不妨令a=4m+k₁，b=4n+k₂，則a-b=4（m-n）+（k₁-k₂），若a-b∈[0]，則k₁-k₂=0，即k₁=k₂，所以整數(shù)a，b屬于同一類．故整數(shù)a，b屬于同一類”的充要條件是“a-b∈[0]．故⑤正確．
故答案為：①③④⑤

點(diǎn)評(píng)：這是一個(gè)新定義問題，難度不大，關(guān)鍵是正確理解“類”的定義，并且恰當(dāng)?shù)膶⒁阎獥l件要判斷的結(jié)論準(zhǔn)確表達(dá)出來．