Question

已知f（x）=e^x-ax-1．
（1）求f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）若f（x）在（-∞，0]上單調(diào)遞減，在[2，+∞）上單調(diào)遞增，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)數(shù)大于0，解出x，可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）由題意知，f（x）在（-∞，0]上單調(diào)遞減，等價于e^x-a≤0即a≥e^x在（-∞，0]上恒成立．由于y=e^x在（-∞，0]上為增函數(shù)，得到函數(shù)的最大值是1，則a≥1．同理得到，f（x）在[2，+∞）上單調(diào)遞增時，a≤e²．從而求出a的范圍．

解答： 解：f′（x）=e^x-a．
（1）若a≤0，f′（x）=e^x-a＞0恒成立，即f（x）在R上遞增．
若a＞0，e^x-a＞0，∴e^x＞a，x＞lna．
∴f（x）的遞增區(qū)間為（lna，+∞）．
（2）由題意知，若f（x）在（-∞，0]上單調(diào)遞減，
則e^x-a≤0在（-∞，0]上恒成立．
∴a≥e^x在（-∞，0]上恒成立．
∵y=e^x在（-∞，0]上為增函數(shù)．
∴x=0時，y=e^x最大值為1．∴a≥1．
同理可知，e^x-a≥0在[2，+∞）上恒成立．
∴a≤e^x在[2，+∞）上恒成立．
∵y=e^x在[2，+∞）上為增函數(shù)．
∴x=2時，y=e^x最小值為e²．∴a≤e²，
綜上可知，當(dāng)1≤a≤e²時，
滿足f（x）在（-∞，0]上單調(diào)遞減，在[0，+∞）上單調(diào)遞增．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查恒成立問題，正確求導(dǎo)是關(guān)鍵．