Question

正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點E在棱CD上．
（Ⅰ）求證：EB₁⊥AD₁；
（Ⅱ）若E是CD中點，求EB₁與平面AD₁E所成的角．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,空間中直線與直線之間的位置關系

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）連結BC₁，B₁C，由正方形性質得B₁C⊥BC₁，由線面垂直得BC₁⊥DC，所以BC₁⊥平面DCB₁，由AD₁∥BC₁，得AD₁⊥平面DCB₁，由此能證明EB₁⊥AD₁．
（Ⅱ）以D為原點，建立空間直角坐標系D-xyz，利用向量法能求出EB₁與平面AD₁E所成的角．

解答： （Ⅰ）證明：連結BC₁，B₁C，交于點O，
∵BCC₁B₁是正方形，∴B₁C⊥BC₁，
又DC⊥平面BCC₁B₁，∴BC₁⊥DC，
∵DC∩B₁C=C，
∴BC₁⊥平面DCB₁，
∵AD₁∥BC₁，∴AD₁⊥平面DCB₁，
∵EB₁?平面DCB₁，∴EB₁⊥AD₁．
（Ⅱ）解：以D為原點，建立空間直角坐標系D-xyz，
設正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，E是CD中點，
則A（2，0，0），D₁（0，0，2），
E（0，1，0），B₁（2，2，2），

AD1

=(-2，0，2)，

AE

=(-2，1，0)，

EB1

=(2，1，2)，
設平面AD₁E的法向量

n

=(x，y，z)，
則

AD1 • n =-2x+2z=0 AE • n =-2x+y=0

，取x=1，得

n

=(1，2，1)，
設EB₁與平面AD₁E所成的角為θ，
則sinθ=|cos＜

EB1

，

n

＞|=|

2+2+2

6 • 9

|=

6

3

．
∴EB₁與平面AD₁E所成的角為arcsin

6

3

．

點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查直線與平面所成角的大小的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．