Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x³+ax²+x+1，a∈R．
（1）若x=1時，函數(shù)f（x）取得極值，求函數(shù)f（x）的圖象在x=-1處的切線方程；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間(

1

2

，1)內(nèi)不單調(diào)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)在x=1處的值為0，求出f（x）的 解析式，將x=-1代入f（x）求出切點坐標(biāo)，將x=-1代入導(dǎo)函數(shù)求出切線的斜率，利用點斜式求出切線的方程．
（2）函數(shù)不單調(diào)，即函數(shù)在區(qū)間(

1

2

，1)有極值，即導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上有解，令導(dǎo)函數(shù)為0，分離出a，求出a的范圍．

解答：解：（1）f'（x）=3x²+2ax+1由f'（1）=0得a=-2
∴f（x）=x³-2x²+x+1
當(dāng)x=-1時，y=-3即切點（-1，-3）
k=f'（x₀）=3x₀²-4x₀+1令x₀=-1得k=8
∴切線方程為8x-y+5=0
（2f（x）在區(qū)間(

1

2

，1)內(nèi)不單調(diào)即f′（x）=0在(

1

2

，1)有解
∴3x²+2ax+1=0在(

1

2

，1)有解
∴2a=-3x-

1

x

令h（x）=-3x-

1

x

∴令h′(x)=-3+

1

x2

＜0解得

3

3

＜x＜1
令h′(x)=-3+

1

x2

＞0解得

1

2

＜x＜

3

3

知h（x）在(

3

3

，1)單調(diào)遞減，在(

1

2

，

3

3

)單調(diào)遞增
∴h(1)＜h(x)≤h(

3

3

)
即h（x）∈[-4，-2

3

]
∴-4＜2a≤-2

3

即-2＜a≤-

3

而當(dāng)a=-

3

時，f′(x)=3x2-2

3

x+1=(

3

x-1)2≥0
∴舍去
綜上a∈(-2，-

3

)

點評：本題考查函數(shù)在極值點處的導(dǎo)數(shù)值為0；導(dǎo)函數(shù)在切點處的值為切線的斜率；考查解決方程有解問題常分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域．