Question

已知下列等式成立：（1）asinθ-bcosθ=

a2+b2

；（2）

sin2θ

m2

+

cos2θ

n2

=

1

a2+b2

，求證：

a2

m2

+

b2

n2

=1．

Answer 1

考點(diǎn)：同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用

專題：三角函數(shù)的求值

分析：令a²+b²=1，設(shè)a=cosα，b=sinα，根據(jù)asinθ-bcosθ=1，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，再利用特殊角的三角函數(shù)值表示出α，進(jìn)而確定出a與b，代入（2）中計(jì)算即可得證．

解答： 解：令a²+b²=1，設(shè)a=cosα，b=sinα，
∴asinθ-bcosθ=sinθcosα-cosθsinα=sin（θ-α）=1，
∴θ-α=

π

2

+2kπ，即α=θ-

π

2

-2kπ（k∈Z），
則a=cos（θ-

π

2

-2kπ）=sinθ，b=sin（θ-

π

2

-2kπ）=-cosθ，
代入（2）得：

sin2θ

m2

+

cos2θ

n2

=

a2

m2

+

b2

n2

=

1

sin2θ+cos2θ

=1，
則

a2

m2

+

b2

n2

=1．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用，熟練掌握基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．