Question

11．設(shè)函數(shù)已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c在x=-$\frac{1}{3}$和x=1處取得極值．
（1）求a，b的值及其單調(diào)區(qū)間；
（2）若對x∈[-1，2]不等式f（x）≤c²恒成立，求c的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出f′（x），因?yàn)楹瘮?shù)在x=-$\frac{2}{3}$與x=1時(shí)都取得極值，所以得到f′（-$\frac{2}{3}$）=0且f′（1）=0聯(lián)立解得a與b的值，然后把a(bǔ)、b的值代入求得f（x）及f′（x），然后討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到函數(shù)的增減區(qū)間；
（2）根據(jù)（1）函數(shù)的單調(diào)性，由于x∈[-1，2]恒成立求出函數(shù)的最大值值為f（2），代入求出最大值，然后令f（2）＜c²列出不等式，求出c的范圍即可

解答 解；（1）f（x）=x³+ax²+bx+c，f'（x）=3x²+2ax+b
由 $\left\{\begin{array}{l}{f′（-\frac{2}{3}）=\frac{12}{9}-\frac{4}{3}a+b=0}\\{f′（1）=3+2a+b=0}\end{array}\right.$，解得，a=-$\frac{1}{2}$，b=-2，
f′（x）=3x²-x-2=（3x+2）（x-1），
函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間如下表：

x	（-∞，-$\frac{2}{3}$）	-$\frac{2}{3}$	（-$\frac{2}{3}$，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	極大值	↓	極小值	↑

所以函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間是（-∞，-$\frac{2}{3}$）和（1，+∞），遞減區(qū)間是（-$\frac{2}{3}$，1）．
（2）f（x）=x³-$\frac{1}{2}$x²-2x+c，x∈[-1，2]，
當(dāng)x=-$\frac{2}{3}$時(shí)，f（x）=$\frac{22}{27}$+c為極大值，而f（2）=2+c，所以f（2）=2+c為最大值．
要使f（x）＜c²對x∈[-1，2]恒成立，須且只需c²＞f（2）=2+c．
解得c＜-1或c＞2．

點(diǎn)評 考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值的能力，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的能力，以及理解函數(shù)恒成立時(shí)所取到的條件．