Question

已知直線

6

x-2y-2

6

=0經(jīng)過橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（＞b＞0）的一個頂點(diǎn)E和一個焦點(diǎn)F．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若過焦點(diǎn)F作直線l，交橢圓于A，B兩點(diǎn)，且橢圓上有一點(diǎn)C，使四邊形AOBC恰好為平行四邊形，求直線的斜率K．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）依題意，E（0，

6

），F(xiàn)（2，0），所以b=

6

，c=2，所以a²=10，即可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）可判斷直線l⊥x軸時，不符合題意；設(shè)直線l的方程為y=k（x-2），點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），把l方程代入橢圓方程消掉y得x的二次方程，由四邊形AOBC為平行四邊形，得

OA

+

OB

=

OC

，根據(jù)韋達(dá)定理可得點(diǎn)C的坐標(biāo)，代入橢圓方程即可求得k值．

解答： 解：（1）依題意，E（0，

6

），F(xiàn)（2，0），
所以b=

6

，c=2，所以a²=10，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

10

+

y2

6

=1；
（2）若直線l⊥x軸，則平行四邊形AOBC中，點(diǎn)C與點(diǎn)O關(guān)于直線l對稱，此時點(diǎn)C坐標(biāo)為（2c，0）．
因?yàn)?c＞a，所以點(diǎn)C在橢圓外，所以直線l與x軸不垂直．                  
于是，設(shè)直線l的方程為y=k（x-2），點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
y=k（x-2）代入橢圓方程，整理得（3+5k²）x²-20k²x+20k²-30=0，
所以x₁+x₂=

20k2

3+5k2

，所以y₁+y₂=-

12k

3+5k2

．
因?yàn)樗倪呅蜛OBC為平行四邊形，所以

OA

+

OB

=

OC

，
所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為（

20k2

3+5k2

，-

12k

3+5k2

），
代入橢圓方程，解得k²=1，
所以k=±1．

點(diǎn)評：本題考查直線方程、橢圓方程及其位置關(guān)系，考查向量的運(yùn)算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，考查分類討論思想，屬中檔題．