Question

已知函數(shù)f（x）=

-x2+2x，x＞0 0，x=0 x2+mx

是奇函數(shù)，M={y|y=f（x），x＜0}，N={x|ax-a+2＞0}，M⊆N
（1）若實數(shù)m的值及a的取值范圍；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，t-2]上單調(diào)遞增，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),函數(shù)奇偶性的性質(zhì),分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由題意可得f（x）+f（-x）=0，求得m=2，f（x）=

-x2+2x，x＞0 0，x=0 x2+2x，x＜0

，求得f（x）的值域，可得M，由M⊆N，N={x|ax＞a-2}，求得a的范圍．
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，t-2]上單調(diào)遞增，結(jié)合函數(shù)f（x）的圖象可得-1＜t-2≤1，求得實數(shù)t的取值范圍．

解答： 解：（1）設(shè)x＜0，則-x＞0，由函數(shù)f（x）=

-x2+2x，x＞0 0，x=0 x2+mx

是奇函數(shù)，
可得f（x）+f（-x）=0，即x²+mx+（-x²-2x）=0，求得m=2，
f（x）=

-x2+2x，x＞0 0，x=0 x2+2x，x＜0

．
M={y|y=f（x），x＜0}={y|y≥（-1）²+2（-1）=-1}={y|y≥-1}，
由M⊆N，N={x|ax＞a-2}，可得 a≥0，且

a-2

a

＜-1，求得0≤a＜1．
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，t-2]上單調(diào)遞增，
結(jié)合函數(shù)f（x）的圖象可得-1＜t-2≤1，求得1＜t≤3，
故要求的實數(shù)t的取值范圍為（1，3]．

點評：本題主要求函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．