Question

以下命題：
①若|

a

-

b

|=|

a

|-|

b

|，則

a

∥

b

；
②

a

=（-1，1）在

b

=（3，4）方向上的投影為

1

5

；
③若△ABC中，a=5，b=8，c=7，

BC

-

CA

=20；
④若非向量

a

、

b

滿足|

a

-

b

|=|

b

|，則|2

b

|＞|

a

+2

b

|．
其中所有真命題的標(biāo)號(hào)是

①②

．

Answer 1

分析：①已知|

a

-

b

|=|

a

|-|

b

|，兩邊平方，可以對(duì)其進(jìn)行判斷；
②

a

=（-1，1）在

b

=（3，4），求出兩個(gè)向量的余弦值，

a

=（-1，1）在

b

=（3，4）方向上的投影為|

b

|cos＜

a

，

b

＞；
③△ABC中，a=5，b=8，c=7，

BC

-

CA

是一個(gè)向量，不可能是一個(gè)值；
④非向量

a

、

b

滿足|

a

-

b

|=|

b

|，兩邊平方可得|

a

|=2|

b

|cos＜

a

，

b

＞，利用等價(jià)的方法進(jìn)行證明；

解答：解：①∵|

a

-

b

|=|

a

|-|

b

|，兩邊平方可得|

a

|²+|

b

|²-2

a

•

b

=|

a

|²+|

b

|²-2|

a

||

b

|，
可得

a

•

b

=|

a

||

b

|，可得cos＜

a

，

b

＞=0，可得

a

，

b

平行，可得

a

∥

b

，故①正確；
②因?yàn)?span id="xfnjdr1" class="MathJye">

a

=（-1，1），

b

=（3，4）可得cos＜

a

，

b

＞=

a • b

| a |•| b |

=

-3+4

2 ×5

=

2

10

，
∴

a

=（-1，1）在

b

=（3，4）方向上的投影為|

a

|cos＜

a

，

b

＞=

2

×

2

10

=

1

5

，故②正確；
③△ABC中，a=5，b=8，c=7，

BC

-

CA

，兩個(gè)向量相減結(jié)果應(yīng)該是一個(gè)向量，不可能為一個(gè)數(shù)，
故③錯(cuò)誤；
④非向量

a

、

b

滿足|

a

-

b

|=|

b

|，|

a

|²+|

b

|²-2

a

•

b

=|

b

|²，可得，|

a

|²=2

a

•

b

，
要證明：|2

b

|＞|

a

+2

b

|?4|

b

|²＞|

a

|²+4|

b

|²+4

a

•

b

?|

a

|²+2|

a

|²＜0，
因?yàn)橄蛄?span id="b3jzfnd" class="MathJye">

a

、

b

是非零的，|

a

|＞0，可得，|

a

|²+2|

a

|²＞0，故④錯(cuò)誤，
綜上①②正確；
故答案為：①②；

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查向量的數(shù)量積與向量的夾角與模，考查綜合分析與解決問題的能力，屬于中檔題．