Question

如圖，四面體A-BCD中，AD⊥面BCD，BC⊥CD，AD=2，BD=2

2

，M是AD的中點，P是△BMD的外心，點Q在線段AC上，且

AC

=4

QC

．
（Ⅰ）證明：PQ∥平面BCD；
（Ⅱ）若二面角C-BM-D的大小為60°，求四面體A-BCD的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定

專題：綜合題,空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）取BD的中點O，在線段CD上取點F，使得DF=3CF，連接OP、OF、FQ．根據(jù)平行線分線段成比例定理結(jié)合三角形的中位線定理證出四邊形OPQF是平行四邊形，從而PQ∥OF，再由線面平行判定定理，證出PQ∥平面BCD；
（Ⅱ）過點C作CG⊥BD，垂足為G，過G作GH⊥BM于H，連接CH．根據(jù)線面垂直的判定與性質(zhì)證出BM⊥CH，因此∠CHG是二面角C-BM-D的平面角，可得∠CHG=60°．設∠BDC=θ，用解直角三角形的方法算出HG和CG關于θ的表達式，最后在Rt△CHG中，根據(jù)正切的定義得出tan∠CHG，從而得到tanθ，由此可得∠BDC，進而可求四面體A-BCD的體積．

解答： 解：（Ⅰ）取BD的中點O，在線段CD上取點F，使得DF=3CF，連接OP、OF、FQ
∵△ACD中，AQ=3QC且DF=3CF，∴QF∥AD且QF=

1

4

AD
∵△BDM中，O、P分別為BD、BM的中點
∴OP∥DM，且OP=

1

2

DM，結(jié)合M為AD中點得：OP∥AD且OP=

1

4

AD
∴OP∥QF且OP=QF，可得四邊形OPQF是平行四邊形
∴PQ∥OF
∵PQ?平面BCD且OF?平面BCD，∴PQ∥平面BCD；
（Ⅱ）過點C作CG⊥BD，垂足為G，過G作GH⊥BM于H，連接CH
∵AD⊥平面BCD，CG?平面BCD，∴AD⊥CG
又∵CG⊥BD，AD、BD是平面ABD內(nèi)的相交直線
∴CG⊥平面ABD，結(jié)合BM?平面ABD，得CG⊥BM
∵GH⊥BM，CG、GH是平面CGH內(nèi)的相交直線
∴BM⊥平面CGH，可得BM⊥CH
因此，∠CHG是二面角C-BM-D的平面角，可得∠CHG=60°
設∠BDC=θ，可得
Rt△BCD中，CD=BDcosθ=2

2

cosθ，CG=CDsinθ=2

2

sinθcosθ，BG=BCsinθ=2

2

sin²θ
Rt△BMD中，HG=

BG•DM

BM

=

2 2

3

sin2θ；Rt△CHG中，tan∠CHG=

CG

GH

=

3cosθ

sinθ

=

3

∴tanθ=

3

，可得θ=60°，即∠BDC=60°，
∵BD=2

2

，
∴CD=

2

，
∴S_△BCD=

1

2

×2

2

×

2

×

3

2

=

3

，
∴V_A-BCD=

1

3

×

3

×2=

2 3

3

．

點評：本題在底面為直角三角形且過銳角頂點的側(cè)棱與底面垂直的三棱錐中求證線面平行，并且在已知二面角大小的情況下求線線角．著重考查了線面平行、線面垂直的判定與性質(zhì)，解直角三角形和平面與平面所成角求法等知識，屬于中檔題．