Question

正方形ABCD沿對角線AC折成直二面角，則異面直線AD和BC所成角為（　　）

• A、

  π

  4

• B、

  π

  3

• C、

  π

  6

• D、

  π

  2

Answer 1

考點：異面直線及其所成的角

專題：空間角

分析：以AC的中點O為坐標(biāo)原點，OA為x軸正半軸，OB為y軸正半軸，OD為z軸正半軸建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，標(biāo)出各點坐標(biāo)，從而得向量

AD

和

BC

的坐標(biāo)，由公式cos＜

AD

，

BC

＞=

AD • BC

| AD || BC |

，可探求異面直線AD和BC所成角．

解答： 解：在原正方形中，設(shè)AC與BD的交點為O，沿AC折成直二面角后，由OD⊥AC及OB⊥AC知，∠BOD=90°，
于是以O(shè)為坐標(biāo)原點，OA為x軸正半軸，OB為y軸正半軸，OD為z軸正半軸建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，如右圖所示．
又設(shè)原正方形的邊長為2，則A（-

2

，0，0），B（0，

2

，0），C（

2

，0，0），D（0，0，

2

），
從而

AD

=（

2

，0，

2

），

BC

=（

2

，-

2

，0），得|

AD

|=2，|

BC

|=2，
所以cos＜

AD

，

BC

＞=

AD • BC

| AD || BC |

=

2 × 2 +0×(- 2 )+ 2 ×0

2×2

=

1

2

，
又異面直線AD和BC所成角的范圍是（0，

π

2

]，得異面直線AD和BC所成的角為

π

3

．
故答案為B．

點評：本題主要考查了兩異面直線所成角的求法，當(dāng)幾何體中出現(xiàn)面面垂直關(guān)系時，可以考慮使用向量法求解，應(yīng)注意區(qū)分兩向量的夾角與兩異面直線所成角的關(guān)系，一般來說，若兩向量夾角為鈍角，則兩異面直線所成角是其補角；若兩向量夾角為銳角，則兩異面直線所成角就是該角．