Question

16．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=1，且3S_n=a_n+1-1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)等差數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，a₂=b₂，T₄=1+S₃，求$\frac{2{T}_{n}+48}{n}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用a₁=1，且3S_n=a_n+1-1．寫出3S_n-1=a_n-1．兩式相減得到4a_n=a_n+1，得到數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公比為4的等比數(shù)列，得到通項(xiàng)公式；
（2）由a₂=b₂，T₄=1+S₃，得到關(guān)于b₁=1，d=3，得到數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，代入所求利用基本不等式求最小值．

解答 解：（1）∵3S_n=a_n+1-1①
∴當(dāng)n＞1時(shí)，3S_n-1=a_n-1．②，…（1分）
①-②得3（S_n-S_n-1）=3a_n=a_n+1-a_n，則4a_n=a_n+1，…（3分）
又a₂=3a₁+1=4=4a₁，…（4分）
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公比為4的等比數(shù)列，
則a_n=4^n-1…（6分）
（2）由（1）得a₂=4，S₃=21…（7分）
則$\left\{\begin{array}{l}{_{2}=4}\\{{T}_{4}=2（_{1}+_{4}）=22}\end{array}\right.$，得b₁=1，…（8分）
設(shè)數(shù)列{b_n}的公差為d，則b₁=1，d=3，…（9分）
∴T_n=$\frac{3}{2}{n}^{2}-\frac{1}{2}n$
∴$\frac{2{T}_{n}+48}{n}$=$\frac{3{n}^{2}-n+48}{n}=3n+\frac{48}{n}-1$≥2$\sqrt{3×48}$-1=23…（10分）
當(dāng)且僅當(dāng)n=4時(shí)取等號(hào)，…（11分）
∴$\frac{2{T}_{n}+48}{n}$的最小值為23…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和為S_n之間的關(guān)系求通項(xiàng)公式的方法以及等差數(shù)列的前n項(xiàng)和；體現(xiàn)了方程組的思想方法；屬于中檔題．