Question

（2006•崇文區(qū)二模）已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

3

2

，過A（a，0），B（0，-b）兩點的直線到原點的距離是

4 5

5

．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若橢圓上兩點C、D的中點坐標為（1，1），求CD所在的直線方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由

c

a

=

3

2

，a²-b²=c²，可得a=2b，再由原點到直線AB：

x

a

-

y

b

=1的距離

d= ab a2+b2 = 4 5 5 .

，得b=2，從而得a；
（Ⅱ）易判直線CD存在斜率，設(shè)直線CD方程：y-1=k（x-1），C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂），聯(lián)立直線與橢圓方程消掉y得x的二次方程，由韋達定理及中點坐標公式可得k的方程，解出k即可；

解答：解（Ⅰ）∵

c

a

=

3

2

，a²-b²=c²，
∴a=2b．
∵原點到直線AB：

x

a

-

y

b

=1的距離

d= ab a2+b2 = 4 5 5 .

，
∴b=2．
∴故所求橢圓方程為  

x2

16

+

y

4

2=1．
（Ⅱ）若直線CD的斜率不存在時，即直線CD垂直于x軸，
易知CD的中點為（1，0），不合題意．
若直線CD的斜率存在時，設(shè)直線CD方程：y-1=k（x-1），C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂），
聯(lián)立：

x2 16 + y2 4 =1 y-1=k(x-1)

，有：（1+4k²）x²-8k（k-1）x+4（k-1）²-16=0．
其中：x₁+x₂=

8k(k-1)

1+4k2

=2，解得：k=-

1

4

．
∴CD所在的直線方程為  x+4y-5=0．

點評：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系、橢圓的標準方程，考查方程思想，屬中檔題．