Question

如圖，在棱長為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M為A₁D中點(diǎn)，N為AC中點(diǎn)．
（1）求異面直線MN和AB所成的角；
（2）求點(diǎn)M到平面BB₁D₁D之距．

Answer 1

分析：（1）可以先求出MN和CD所成的角為45°，然后由CD∥AB即可求出MN和AB所成的角；
（2）先求出A1和平面BB₁D₁D的距離，M點(diǎn)到平面BB₁D₁D的距離為 A1和平面BB₁D₁D的距離的二分之一

解答：解：（1）在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M為A₁D中點(diǎn)，
連接AD₁，則M為A₁D和AD₁的交點(diǎn)
在△AD₁C中，M、N分別為AD₁和AC之中點(diǎn)，
∴MN∥D₁C，而D₁C和DC所成角為45°，又DC∥AB
∴MN和AB所在異面角為45°．
（2）∵在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BDD₁B₁為體對角面
∴A₁到面BD₁之距即A₁到B₁D₁之距

2

2

a．
又M為A₁D之中點(diǎn)，從而M到BD₁之距

2

4

a．

點(diǎn)評：此題考查異面直線所成的角的求法和點(diǎn)到平面距離的求法，解題時(shí)要注意數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用，有一定的技巧，屬于中檔題．