Question

已知函數(shù)f（x）=2sin（ωx），其中常數(shù)ω＞0
（1）若y=f（x）在[-，]上單調(diào)遞增，求ω的取值范圍；
（2）令ω=2，將函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移個單位，在向上平移1個單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，區(qū)間[a，b]（a，b∈R，且a＜b）滿足：y=g（x）在[a，b]上至少含有30個零點(diǎn)．在所有滿足上述條件的[a，b]中，求b-a的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知函數(shù)y=f（x）在上單調(diào)遞增，且ω＞0，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性可得，且，解出即可；
（2）利用變換法則“左加右減，上加下減”即可得到g（x）=2．令g（x）=0，即可解出零點(diǎn)的坐標(biāo)，可得相鄰兩個零點(diǎn)之間的距離．若b-a最小，則a和b都是零點(diǎn)，此時在區(qū)間[a，mπ+a]（m∈N^*）恰有2m+1個零點(diǎn)，所以在區(qū)間[a，14π+a]是恰有29個零點(diǎn)，從而在區(qū)間（14π+a，b]至少有一個零點(diǎn)，即可得到a，b滿足的條件．進(jìn)一步即可得出b-a的最小值．
解答：解：（1）∵函數(shù)y=f（x）在上單調(diào)遞增，且ω＞0，
∴，且，
解得．
（2）f（x）=2sin2x，∴把y=f（x）的圖象向左平移個單位，在向上平移1個單位，得到，
∴函數(shù)y=g（x）=，
令g（x）=0，得，或x=（k∈Z）．
∴相鄰兩個零點(diǎn)之間的距離為或．
若b-a最小，則a和b都是零點(diǎn)，此時在區(qū)間[a，π+a]，[a，2π+a]，…，[a，mπ+a]（m∈N^*）分別恰有3，5，…，2m+1個零點(diǎn)，
所以在區(qū)間[a，14π+a]是恰有29個零點(diǎn)，從而在區(qū)間（14π+a，b]至少有一個零點(diǎn)，
∴．
另一方面，在區(qū)間恰有30個零點(diǎn)，
因此b-a的最小值為．
點(diǎn)評：本題綜合考查了三角函數(shù)的單調(diào)性、周期性、函數(shù)的零點(diǎn)等基礎(chǔ)知識與基本技能，考查了分析問題和解決問題的能力、推理能力和計算能力．