Question

8．已知函數(shù)f（x）=log₃$\frac{m{x}^{2}+8x+n}{{x}^{2}+1}$的定義域?yàn)镽，值域?yàn)閇0，2]，求$\frac{m-n}{m+n}$的值．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，值域?yàn)閇0，2]，設(shè)y=$\frac{{mx}^{2}+8x+n}{{x}^{2}+1}$，化為關(guān)于x的一元二次方程，由此求出m、n的值即可．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=log₃$\frac{m{x}^{2}+8x+n}{{x}^{2}+1}$的定義域?yàn)镽，
且值域?yàn)閇0，2]，
∴設(shè)y=$\frac{{mx}^{2}+8x+n}{{x}^{2}+1}$，
則1≤y≤9，且（y-m）•x²-8x+（y-n）=0；
由x∈R，則①當(dāng)y-m≠0時(shí)，
方程的判別式△=64-4（y-m）（y-n）≥0，
即 y²-（m+n）y+mn-16≤0；
∴y=1和y=9是方程 y²-（m+n）y+mn-16=0的兩個(gè)根，
∴m+n=10，mn-16=9，
解得m=n=5；
②若y-m=0，即y=m=n=5 時(shí)，對應(yīng)的x=0，符合條件；
綜上，m=n=5；
∴$\frac{m-n}{m+n}$=$\frac{5-5}{5+5}$=0．

點(diǎn)評 本題考查了對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了一元二次方程的解法與應(yīng)用問題，是綜合性題目．