Question

1．向量$\overrightarrow{a}$=（cosx+sinx，$\sqrt{2}$cosx），$\overrightarrow$=（cosx-sinx，$\sqrt{2}$sinx），f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若2x²-πx≤0，求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）由已知結(jié)合平面向量的數(shù)量積的坐標運算求得f（x），化簡后由復合函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求解不等式得到x的范圍，然后求得相位的范圍，則函數(shù)f（x）的值域可求．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}$=（cosx+sinx，$\sqrt{2}$cosx），$\overrightarrow$=（cosx-sinx，$\sqrt{2}$sinx），
∴f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=（cos²x-sin²x）+2sinxcosx=sin2x+cos2x
=$\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）$．
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{4}≤\frac{π}{2}+2kπ，k∈Z$，
解得：$-\frac{3π}{8}+kπ≤x≤\frac{π}{8}+kπ，k∈Z$，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[$-\frac{3π}{8}+kπ，\frac{π}{8}+kπ$]，k∈Z．
由$\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{4}≤\frac{3π}{2}+2kπ，k∈Z$，
解得：$\frac{π}{8}+kπ≤x≤\frac{5π}{8}+kπ，k∈Z$，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為[$\frac{π}{8}+kπ，\frac{5π}{8}+kπ$]，k∈Z；
（2）由2x²-πx≤0，得0$≤x≤\frac{π}{2}$，
∴$\frac{π}{4}≤2x+\frac{π}{4}≤\frac{5π}{4}$，則$-\frac{\sqrt{2}}{2}≤sin（2x+\frac{π}{4}）≤1$，
∴函數(shù)f（x）的值域為[-1，$\sqrt{2}$]．

點評 本題考查平面向量數(shù)量積的坐標運算，考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了函數(shù)值域的求法，是中檔題．