Question

已知R上的連續(xù)函數(shù)g（x）滿足：
①當(dāng)x＞0時(shí)，g′（x）＞0恒成立（g′（x）為函數(shù)g（x）的導(dǎo)函數(shù)）；
②對(duì)任意的x∈R都有g(shù)（x）=g（-x），又函數(shù)f（x）滿足：對(duì)任意的x∈R，都有f(

3

+x)=f(x-

3

)成立．當(dāng)x∈[-

3

，

3

]時(shí)，f（x）=x³-3x．若關(guān)于x的不等式g[f（x）]≤g（a²-a+2）對(duì)x∈[-

3

2

-2

3

，

3

2

+2

3

]恒成立，則a的取值范圍是（　　）

• A、a∈R
• B、0≤a≤1
• C、-

  1

  2

  -

  3 3

  4

  ≤a≤-

  1

  2

  +

  3 3

  4

• D、a≤0或a≥1

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)恒成立問(wèn)題

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：由于函數(shù)g（x）滿足：①當(dāng)x＞0時(shí)，g'（x）＞0恒成立（g′（x）為函數(shù)g（x）的導(dǎo)函數(shù)）；②對(duì)任意x∈R都有g(shù)（x）=g（-x），這說(shuō)明函數(shù)g（x）為R上的偶函數(shù)且在[0，+∞）上為單調(diào)遞增函數(shù)，且有g(shù)|（x|）=g（x），所以g[f（x）]≤g（a²-a+2）?|f（x）|≤|a²-a+2|對(duì)x∈[-

3

2

-2

3

，

3

2

+2

3

]恒成立，只要使得|f（x）|在定義域內(nèi)的最大值小于等于|a²-a+2|的最小值，然后解出即可．

解答： 解：因?yàn)楹瘮?shù)g（x）滿足：當(dāng)x＞0時(shí)，g′（x）＞0恒成立且對(duì)任意x∈R都有g(shù)（x）=g（-x），
則函數(shù)g（x）為R上的偶函數(shù)且在[0，+∞）上為單調(diào)遞增函數(shù)，且有g(shù)（|x|）=g（x），
所以g[f（x）]≤g（a²-a+2）在R上恒成立?|f（x）|≤|a²-a+2|對(duì)x∈[-

3

2

-2

3

，

3

2

+2

3

]恒成立，
只要使得定義域內(nèi)|f（x）|_max≤|a²-a+2|_min，由于當(dāng)x∈[-

3

，

3

]時(shí)，f（x）=x³-3x，
求導(dǎo)得：f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），該函數(shù)過(guò)點(diǎn)（-

3

，0），（0，0），（

3

，0），
且函數(shù)在x=-1處取得極大值f（-1）=2，在x=1處取得極小值f（1）=-2，
又由于對(duì)任意的x∈R都有f（

3

+x）=-f（x）?f（2

3

+x）=-f（

3

+x）=f（x）成立，
則函數(shù)f（x）為周期函數(shù)且周期為T=2

3

，
所以函數(shù)f（x）在x∈[-

3

2

-2

3

，

3

2

+2

3

]的最大值為2，
所以令2≤|a²-a+2|解得：a≥1或a≤0．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了利用導(dǎo)函數(shù)求得函數(shù)在定義域上為單調(diào)遞增函數(shù)，還考查了函數(shù)的周期的定義，及利用周期可以求得當(dāng)x∈[-

3

，

3

]時(shí)，f（x）=x³-3x的值域?yàn)閇-2，2]，還考查了函數(shù)恒成立．