Question

1．已知曲線C₁：ρ=2cosθ，曲線C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=5cost}\\{y=4sint}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
（1）化C₁為直角坐標(biāo)方程，化C₂為普通方程；
（2）若M為曲線C₂上一動(dòng)點(diǎn)，N為曲線C₁上一動(dòng)點(diǎn)，求|MN|的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）直接根據(jù)極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)互化公式求解即可；
（2）利用已知，得到|MC₂|-1≤|MN|≤|MC₂|+1，然后，得到|MC₂|²=（5cosφ-1）²+16sin²φ=9cos²φ-10cosφ+17，借助于三角函數(shù)的取值情況進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）∵曲線C₁：ρ=2cosθ，
∴ρ²=2ρcosθ，
∴x²+y²=2x，
故它的直角坐標(biāo)方程為x²+y²-2x=0，
即：C₁：（x-1）²+y²=1，
∵曲線C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=5cost}\\{y=4sint}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
∴$\left\{\begin{array}{l}{cost=\frac{x}{5}}\\{sint=\frac{y}{4}}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
∴平方相加后可得：C₂：$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1．
（2）設(shè)點(diǎn)M（5cost，4sint），則
|MC₂|-1≤|MN|≤|MC₂|+1，
|MC₂|²=（5cost-1）²+16sin²t=9cos²t-10cost+17=9（cost-$\frac{5}{9}$）²+$\frac{128}{9}$，
當(dāng)cost=-1時(shí)，得|MC₂|²_max=36，|MC₂|_max=6，
當(dāng)cost=$\frac{5}{9}$時(shí)，得|MC₂|²_min=$\frac{128}{9}$，|MC₂|_min=$\frac{8\sqrt{2}}{3}$，
∴$\frac{8\sqrt{2}}{3}$-1≤|MC₂|-1≤|MN|≤|MC₂|+1≤5+1，
∴|MN|的取值范圍[$\frac{8\sqrt{2}}{3}$，6]．

點(diǎn)評 本題重點(diǎn)考查極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化公式、距離問題處理思路和方法等知識，屬于中檔題．