Question

13．已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，底面ABCD的中心為O，E為A₁B₁中點(diǎn)，F(xiàn)為CC₁中點(diǎn)，如圖．
（1）求證：A₁O⊥BD；
（2）求證：A₁O⊥平面BDF；
（3）求證：平面AD₁E⊥平面ACD₁．

Answer 1

分析 （1）利用線面垂直的判定定理證明DB⊥平面A₁ACC₁ ，證得A₁O⊥DB．
（2）再用勾股定理證明A₁O⊥OF，這樣，A₁O就垂直于平面GBD內(nèi)的兩條相交直線，故A₁O⊥平面BDF．
（3）連接A₁D交AD₁于H，連接EH，B₁D，證明B₁D⊥平面ACD₁，可得EH⊥平面ACD₁，即可證明平面AD₁E⊥平面ACD₁．

解答 證明：（1）∵DB⊥A₁A，DB⊥AC，A₁A∩AC=A，
∴DB⊥平面A₁ACC₁．
又A₁O?平面A₁ACC₁，∴A₁O⊥DB；
（2）連接OF，則在矩形A₁ACC₁中，tan∠AA₁O=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，tan∠FOC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠AA₁O=∠GOC，
則∠A₁OA+∠FOC=90°．∴A₁O⊥OF．
∵OF∩DB=O，∴A₁O⊥平面BDF；
（3）連接A₁D交AD₁于H，連接EH，B₁D，則
∵E為A₁B₁中點(diǎn)，
∴EH∥B₁D，
∵B₁B⊥平面ABCD，AC⊥BD，
∴AC⊥B₁D，
同理，AD₁⊥B₁D，
∵AD₁∩AC=A，
∴B₁D⊥平面ACD₁，
∵EH∥B₁D，
∴EH⊥平面ACD₁，
∵EH?平面AD₁E，
∴平面AD₁E⊥平面ACD₁．

點(diǎn)評(píng) 本題考查證明直線和平面垂直的方法，在其中一個(gè)平面內(nèi)找出2條相交直線和另一個(gè)平面垂直是關(guān)鍵．