已知，函數(shù)（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．  
（Ⅰ）求函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最小值；  
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)，Sn是前n項(xiàng)和，證明：．

（Ⅰ）解：求導(dǎo)函數(shù)，令其等于0，即，可得x=a
若a≥e時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，e]是減函數(shù)，
∴f（x）min=f（e）= ；
0＜a＜e時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，a]是減函數(shù)，[a，e]是增函數(shù)，
∴f（x）min=f（a）=lna；
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）可知，a=1時(shí)，函數(shù)f（x）在定義域的最小值為0，
∴l(xiāng)nx＞1- 在[1，+∞）上成立
令x= 得  ln（k+1）-lnk＞
令k=1，2，3，…，（n-1），
可得ln2-ln1＞ ，ln3-ln2＞ ，…，lnn-ln（n-1）＞
∵數(shù)列{an}的通項(xiàng)an= ，Sn是前n項(xiàng)和，
∴疊加，可得Sn-1＜lnn（n≥2）
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)（其中e為自然對(duì)數(shù)）

求F(x)=h(x)的極值。

設(shè)  （常數(shù)a>0），當(dāng)x>1時(shí)，求函數(shù)G(x)的單調(diào)區(qū)

間，并在極值存在處求極值。

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2014屆遼寧省五校協(xié)作體屆高三摸底考試文科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

 已知函數(shù)，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)恒成立．

（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）求實(shí)數(shù)a的所有可能取值的集合；

（Ⅲ）求證：.

 

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2012-2013學(xué)年遼寧沈陽(yáng)二中等重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體高三領(lǐng)航高考預(yù)測(cè)（十）文數(shù)學(xué)卷（解析版） 題型：解答題

（本小題滿分12分）已知函數(shù)（其中e為自然對(duì)數(shù)）

（1）求F(x)="h" (x)的極值。

（2）設(shè) （常數(shù)a>0），當(dāng)x>1時(shí)，求函數(shù)G(x)的單調(diào)區(qū)間，并在極值存在處求極值。

 

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2011-2012學(xué)年河北省保定市高三上學(xué)期期末調(diào)研考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

已知：函數(shù).（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，e=2.71828…〉.

(1) 當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程；

(2) 當(dāng)時(shí)，試求函數(shù)的極值；

(3)若，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象是否總在不等式所表示的平面區(qū)域內(nèi)，請(qǐng)寫(xiě)出判斷過(guò)程.

 

 

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案