已知a，b，c均為正實(shí)數(shù)，且ab+bc+ca=1．
求證：（Ⅰ）a+b+c≥
3
；
（Ⅱ）
a
bc
+
b
ca
+
c
ab
≥
3
（
a
+
b
+
c
）．
考點(diǎn)：不等式的證明
專題：選作題,不等式
分析：（Ⅰ）由題意可得，只需證（a+b+c）2≥3，只需證a2+b2+c2≥1，只需證a2+b2+c2-（ab+bc+ca）≥0，只需證
（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2≥0；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a+b+c≥
3
，證明
a
bc
+
b
ca
+
c
ab
≥
3
（
a
+
b
+
c
），只需證明
1
abc
≥
a
+
b
+
c
，結(jié)合基本不等式，即可得證．
解答： 證明：（Ⅰ）要證原不等式成立，只需證（a+b+c）2≥3，即證a2+b2+c2+2（ab+bc+ca）≥3，
又ab+bc+ca=1．所以，只需證：a2+b2+c2≥1，即a2+b2+c2-1≥0，
因?yàn)閍b+bc+ca=1．所以，只需證：a2+b2+c2-（ab+bc+ca）≥0，
只需證：2a2+2b2+2c2-2（ab+bc+ca）≥0，
即（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2≥0，而（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2≥0顯然成立，
故原不等式成立；
（Ⅱ）∵
a
bc
+
b
ca
+
c
ab
=
a+b+c
abc
，
由（Ⅰ）知，a+b+c≥
3
，
∴證明
a
bc
+
b
ca
+
c
ab
≥
3
（
a
+
b
+
c
），
只需證明
1
abc
≥
a
+
b
+
c
，
即證明：a
bc
+b
ac
+c
ab
≤ab+bc+ca，
∵a
bc
≤
ab+ac
2
，b
ac
≤
ab+bc
2
，c
ab
≤
ac+bc
2
，
∴a
bc
+b
ac
+c
ab
≤ab+bc+ca，
∴
a
bc
+
b
ca
+
c
ab
≥
3
（
a
+
b
+
c
）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查用分析法證明不等式，尋找使不等式成立的充分條件，是解題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)a，b表示兩條不同的直線，α，β表示兩個(gè)不同的平面（　　）
A、若α∥β，a?α，b?β，則a∥b
B、若α⊥β，a∥β，則a⊥α
C、若a⊥α，a⊥b，a∥β，則b∥β
D、若α⊥β，a⊥α，b⊥β，則a⊥b

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

某程序框圖如圖所示，現(xiàn)輸入下列四個(gè)函數(shù)：f（x）=
1
x
，f（x）=log3（x2+1），f（x）=2x+2-x，f（x）=2x-2-x，則輸出的函數(shù)是（　�。�
A、f（x）=
1
x
B、f（x）=log3（x2+1）
C、f（x）=2x+2-x
D、f（x）=2x-2-x

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如果直線ax+by=4與圓C：x2+y2=4相離，那么點(diǎn)P（a，b）與圓C的位置關(guān)系是（　　）
A、在圓內(nèi)B、在圓上
C、在圓外D、不確定

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知等差數(shù)列{an}，a2+a18=36，則a5+a6+…+a15=（　　）
A、130B、198
C、180D、156

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若二項(xiàng)式（3x-
1
x
）n展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的之和為64，則該展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為
 
（用數(shù)字作答）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ax3+cx+d （a≠0）是R上的奇函數(shù)，當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取得極值-2．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式．
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極大值．
（3）證明：對(duì)任意x1，x2∈（-1，1），不等式|f（x1）-f（x2）|＜4恒成立．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對(duì)邊，S為△ABC的面積，且4S=
3
（a2+b2-c2）
（1）求角C的大��；
（2）f（x）=4sinxcos（x+
π
6
）+1，當(dāng)x=A時(shí)，f（x）取得最大值b，試求S的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在△ABC中，內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列且其對(duì)邊分別為a，b，c，已知acosC+ccosA=
3
．
（Ⅰ）求邊b的值；
（Ⅱ）求△ABC面積的最大值．

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