Question

在△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對邊，S為△ABC的面積，且4S=

3

（a²+b²-c²）
（1）求角C的大�。�
（2）f（x）=4sinxcos（x+

π

6

）+1，當x=A時，f（x）取得最大值b，試求S的值．

Answer 1

考點：余弦定理,正弦定理

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）利用三角形的面積公式表示出S，代入已知等式后利用余弦定理化簡，求出tanC的值，即可確定出C的度數(shù)；
（2）f（x）解析式利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡，整理后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，利用正弦函數(shù)的值域確定出f（x）取得最大值時A與b的值，再利用銳角三角函數(shù)定義求出a與c的值，即可確定出S．

解答： 解：（1）∵S=

1

2

absinC，∴4S=2absinC=

3

（a²+b²-c²），
即sinC=

a2+b2-c2

2ab

•

3

=

3

cosC，
∴tanC=

3

，
則C=

π

3

；
（2）f（x）=4sinx（

3

2

cosx-

1

2

sinx）+1=

3

sin2x+cos2x=2sin（2x+

π

6

），
當2x+

π

6

=2kπ+

π

2

（k∈Z），即x=kπ+

π

6

（k∈Z）時，f（x）_max=2，
∵A為三角形內(nèi)角，∴A=

π

6

，b=2，
∴B=π-A-C=

π

2

，a=bsinA=1，c=bsinC=

3

，
則S=

1

2

acsinB=

3

2

．

點評：此題考查了余弦定理，三角形的面積公式，兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．