Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁（-

3

，0）、F₂（

3

，0），橢圓上的點P滿足∠PF₁F₂=90°，且△PF₁F₂的面積為S_△PF1F2═

3

2

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓C的左、右頂點分別為A、B，過點Q（1，0）的動直線l與橢圓C相交于M、N兩點，直線AN與直線x=4的交點為R，證明：點R總在直線BM上．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）通過橢圓的截距以及三角形的面積求出a，b，即可得到橢圓C的方程；
（Ⅱ）求出A、B坐標通過（1）當直線l與x軸垂直時，求出AN的方程，BM的方程，然后求出直線AN與直線x=4的交點，判斷交點R在直線BM上；（2）當直線l不與x軸垂直時，設(shè)直線l的方程為y=k（x-1），M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），R（4，y₀）利用直線與橢圓方程聯(lián)立結(jié)合韋達定理，利用分析法證明A，N，R共線，即點R總在直線BM上即可．

解答： 解：（Ⅰ）由題意知：|F1F2|=2c=2

3

，…（1分）
∵橢圓上的點P滿足∠PF₁F₂=90°，且S△PF1F2=

3

2

，
∴S△PF1F2=

1

2

|F1F2|•|PF1|=

1

2

×2

3

×|PF1|=

3

2

．
∴|PF1|=

1

2

，|PF2|=

|F1F2|2+|PF1|2

=

7

2

．
∴2a=|PF₁|+|PF₂|=4，a=2…（2分）
又∵c=

3

，∴b=

a2-c2

=1…（3分）
∴橢圓C的方程為

x2

4

+y2=1．…（4分）
（Ⅱ）由題意知A（-2，0）、B（2，0），
（1）當直線l與x軸垂直時，M(1，

3

2

)、N(1，-

3

2

)，
則AN的方程是：y=-

3

6

(x+2)，
BM的方程是：y=-

3

2

(x-2)，
直線AN與直線x=4的交點為R(4，-

3

)，
∴點R在直線BM上．…（6分）
（2）當直線l不與x軸垂直時，設(shè)直線l的方程為y=k（x-1），M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），R（4，y₀）
由

y=k(x-1) x2 4 +y2=1

得（1+4k²）x²-8k²x+4k²-4=0
∴x1+x2=

8k2

1+4k2

，x1x2=

4k2-4

1+4k2

…（7分）

AR

=(6，y0)，

AN

=(x2+2，y2)，
A，N，R共線，
∴y0=

6y2

x2+2

…（8分）
又

BR

=(2，y0)，

BM

=(x1-2，y1)，
需證明B，M，R共線，
需證明2y₁-y₀（x₁-2）=0，只需證明2k(x1-1)-

6k(x2-1)

x2+2

(x1-2)=0
若k=0，顯然成立，若k≠0，即證明（x₁-1）（x₂+2）-3（x₂-1）（x₁-2）=0
∵（x₁-1）（x₂+2）-3（x₂-1）（x₁-2）=-2x₁x₂+5（x₁+x₂）-8
=

-2(4k2-4)

1+4k2

+

5×8k2

1+4k2

-8=0成立，…（11分）
∴B，M，R共線，即點R總在直線BM上．…（12分）

點評：本題考查橢圓的定義及其性質(zhì)，橢圓方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系，直線方程以及韋達定理的應(yīng)用．難度比較大，解題需要一定的運算能力以及分析問題解決問題的能力．