Question

已知函數(shù)f（x）=（x²-x-）e^ax（a≠0）
（1）求曲線y=f（x）在點(diǎn)A（0，f（0））處的切線方程
（2）當(dāng)a＜0時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間
（3）當(dāng)a＞0時(shí)，若不等式f（x）+≥0，對x∈[-，+∝）恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）f'（x）=e^ax（ax+2）（x-1），f（0）=-，f'（0）=-2
所以切線方程為2x+y+=0
（2）令f′（x）=0則x=1或
當(dāng)a＜-2時(shí)，f（x）在（-∞，-）和（1，+∞）上單調(diào)遞減，在（-，1）上單調(diào)遞增；
當(dāng)a=-2時(shí)，f′（x）≤0，f（x）在R上減函數(shù)；
當(dāng)-2＜a＜0時(shí)，f（x）在（-∞，1）和（-，+∞）上單調(diào)遞減，在（1，-）上單調(diào)遞增；
（3）當(dāng)a＞0時(shí)，

∵f（-）＞0，f（1）＜0∴f（1）=-e^a為最小值
∴-e^a+≥0對x∈[-，+∞）恒成立∴a∈（0，ln3]
分析：（1）先求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f'（x），然后求出f（0），f'（0）的值，得到了切點(diǎn)坐標(biāo)和切線的斜率，利用點(diǎn)斜式方程即可求出切線方程；
（2）先求出f′（x）=0的值，討論a與-2的大小關(guān)系，解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）討論滿足f′（x）=0的點(diǎn)將區(qū)間[-，+∞）分成幾段，然后利用列表法求出f′（x）=0的點(diǎn)附近的導(dǎo)數(shù)的符號的變化情況，來確定極值，從而求出最小值，使[f（x）+]min≥0恒成立，求出a的取值范圍即可．
點(diǎn)評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識，考查計(jì)算能力和分析問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．