Question

（1991•云南）已知函數(shù)f(x)=

2x-1

2x+1

．
（Ⅰ）證明：f（x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)；
（Ⅱ）證明：對于任意不小于3的自然數(shù)n，都有f（n）＞

n

n+1

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)x₁，x₂為任意兩個實數(shù)，且x₁＜x₂，而f（x）=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

，利用作差證明f（x₂）＞f（x₁）即可；
（Ⅱ）要證f（n）＞

n

n+1

（n∈N，n≥3），即要證1-

2

2n+1

＞1-

1

n+1

，即要證2ⁿ-1＞2n（n≥3）．用數(shù)學(xué)歸納法即可證明；

解答：（Ⅰ）證明：設(shè)x₁，x₂為任意兩個實數(shù)，且x₁＜x₂，
f（x）=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

，
f（x₂）-f（x₁）=

2

2x1+1

-

2

2x2+1

=

2(2x2-2x1)

(2x1+1)(2x2+1)

，
由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)知，(2x1+1)(2x2+1)＞0，2x2-2x1＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，
故f（x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)；
（Ⅱ）要證f（n）＞

n

n+1

（n∈N，n≥3），即要證1-

2

2n+1

＞1-

1

n+1

，
即要證2ⁿ-1＞2n（n≥3）．①
現(xiàn)用數(shù)學(xué)歸納法證明①式．
（1）當(dāng)n=3時，左邊=2³-1=7，右邊=2×3=6，
∴左邊＞右邊，因而當(dāng)n=3時①式成立．
（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k≥3）時①式成立，即有2^k-1＞2k，那么
2^k+1-1=2•2^k-1=2（2^k-1）+1＞2•2k+1=2（k+1）+（2k-1），
∵k≥3，∴2k-1＞0．
∴2^k+1-1＞2（k+1）．
這就是說，當(dāng)n=k+1時①式成立．
根據(jù)（1）（2）可知，①式對于任意不小于3的自然數(shù)n都成立．
由此有f（n）＞

n

n+1

．（n≥3，n∈N）．

點評：本小題考查指數(shù)函數(shù)，數(shù)學(xué)歸納法，不等式證明等知識以及綜合運用有關(guān)知識解決問題的能力．