Question

如圖，橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)在直線l：x=1上，離心率e=

1

2

．設(shè)P，Q為橢圓上不同的兩點(diǎn)，且弦PQ的中點(diǎn)T在直線l上，點(diǎn)R（

1

4

，0）．
（1）求橢圓的方程；
（2）試證：對(duì)于所有滿足條件的P，Q，恒有|RP|=|RQ|；
（3）試判斷△PQR能否為等邊三角形？證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）利用橢圓的性質(zhì)、離心率計(jì)算公式e=

c

a

及a²=b²+c²即可得出；
（2）證明：設(shè)T（1，y₀），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．則

RT

=(

3

4

，y0)，

PQ

=(x2-x1，y2-y1)，只要證明

RT

•

PQ

=

3

4

(x2-x1)+y0(y2-y1)=0即可，利用“點(diǎn)差法”中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可證明；
（3）分類討論，利用等邊三角形的性質(zhì)和兩點(diǎn)間的距離關(guān)系及其根與系數(shù)的關(guān)系即可得到滿足條件的直線斜率k存在即可．

解答：（1）解：由題意可得

c=1 e= c a = 1 2 a2=b2+c2

，解得

a=2 b2=3

，∴橢圓的方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）證明：設(shè)T（1，y₀），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
則

RT

=(

3

4

，y0)，

PQ

=(x2-x1，y2-y1)，
∴

RT

•

PQ

=

3

4

(x2-x1)+y0(y2-y1)，
由點(diǎn)P，Q在橢圓上，∴

x 2 1

4

+

y 2 1

3

=1，

x 2 2

4

+

y 2 2

3

=1，
兩式相減得

(x1+x2)(x1-x2)

4

+

(y1+y2)(y1-y2)

3

=0，
∵x₁+x₂=2，y₁+y₂=2y₀，
∴

3

4

(x1-x2)+y0(y1-y2)=0．
∴

RT

•

PQ

=0．
∴PQ⊥RT．
即RT是線段PQ的垂直平分線，故恒有|RT|=|RQ|．
（3）①當(dāng)PQ的斜率不存在時(shí)，△PQR不是等邊三角形；
②當(dāng)PQ的斜率存在時(shí)，由（2）可知：k=0時(shí)不符合題意．
假設(shè)k≠0，△PQR為等邊三角形，則|RT|=

3

2

|PQ|，
設(shè)PQ的中點(diǎn)T（1，y₀），此時(shí)，|RT|2=

3

4

|PQ|2．
∴(1-

1

4

)2+(y0-0)2=

3

4

[

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

]2，
∴

9

16

+(

y1+y2

2

)2=

3

4

(

1+k2

•

4-4• 4m2-12 4k2+3

)2，
代入化為

9

16

+

9

16k2

=3(1+k2)(1-

4k2+ 9 4k2 -6

4k2+3

)=3（1+k²）

9- 9 4k2

4k2+3

，
解得k2=

15

44

．
由△＞0，得64k²m²-4（4k²+3）（4m²-12）＞0，
把m=-k-

3

4k

代入上式得k2＞

1

4

，∴k2=

15

44

符合題意．
∴△PQR能為等邊三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為直線l的方程與橢圓方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、垂直與數(shù)量積的關(guān)系、兩點(diǎn)間的距離公式、斜率計(jì)算公式等基礎(chǔ)知識(shí)與基本能力，考查了推理能力和計(jì)算能力．