Question

已知ABC-A₁B₁C₁為正三棱柱，D是AC的中點(diǎn)（如圖所示）．
（Ⅰ）證明；AB₁∥平面DBC₁；
（Ⅱ）若AB₁⊥BC₁，BC=2．求二面角D-BC₁-C的大�。�

Answer 1

（Ⅰ）證明：連接CB₁交BC₁于O，連接OD
∵ABC-A₁B₁C₁為正三棱柱
∴O是BC₁的中點(diǎn)，
∵D是AC的中點(diǎn)
∴OD∥AB₁，
∵OD?面DBC₁，AB₁?面DBC₁，
∴AB₁∥平面DBC₁．
（Ⅱ）解：∵AB₁⊥BC₁，OD∥AB₁，
∴OD⊥BC₁，又O為BC₁中點(diǎn)，∴DB=DC₁=
∴
過(guò)O作OH⊥BC₁于H，連接DH，則OH=，∠HOD為所求二面角D-BC₁-C的平面角
∵
∴
∴
∴
在△DOH中，，
cos∠HOD=
∴∠HOD=45°
即二面角D-BC₁-C的平面角為45°．
分析：（Ⅰ）證明線面平行的關(guān)鍵是證明AB₁平行于平面DBC₁內(nèi)的一條直線，利用中位線的性質(zhì)，可證；
（Ⅱ）根據(jù)AB₁⊥BC₁，OD∥AB₁，可得OD⊥BC₁，過(guò)O作OH⊥BC₁于H，則OH=，∠HOD為所求二面角D-BC₁-C的平面角，再分別求出OD，DH的長(zhǎng)，利用余弦定理可求．
點(diǎn)評(píng)：本題以正三棱柱為載體，考查線面平行，考查面面角，正確運(yùn)用線面平行的判定，作出面面角是解題的關(guān)鍵．