Question

已知向量

a

=（cos

x

2

，1），

b

=（

3

sin

x

2

，cos²

x

2

），函數(shù)f（x）=

a

•

b

．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若f（x）=1，求cos（

2π

3

-2x）的值．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,余弦函數(shù)的圖象

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（1）利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、倍角公式、兩角和差的正弦公式可得：函數(shù)f（x）=sin(x+

π

6

)+

1

2

．再利用正弦函數(shù)的周期性與單調(diào)性即可得出．
（2）利用誘導(dǎo)公式、倍角公式即可得出．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=

a

•

b

=

3

sin

x

2

cos

x

2

+cos2

x

2

=

3

2

sinx+

1+cosx

2

=sin(x+

π

6

)+

1

2

．
∴函數(shù)f（x）的最小正周期為T=

2π

2

=2π． 
令2kπ-

π

2

≤x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，解得2kπ-

2π

3

≤x≤2kπ+

π

3

（k∈Z）．
函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[2kπ-

2π

3

，2kπ+

π

3

]（k∈Z）．
（2）由f（x）=sin(x+

π

6

)+

1

2

=1，
可得sin(x+

π

6

)=

1

2

，
∴cos（

2π

3

-2x）=2cos2(

π

3

-x)-1=2sin2(x+

π

6

)-1=-

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、倍角公式、兩角和差的正弦公式、正弦函數(shù)的周期性與單調(diào)性、誘導(dǎo)公式、倍角公式，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．