Question

設(shè)等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且a₅+a₁₃=34，S₃=9．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式及前n項和公式；
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}的通項公式為bn=

an

an+t

，問：是否存在正整數(shù)t，使得b₁，b₂，b_m（m≥3，m∈N）成等差數(shù)列？若存在，求出t和m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出等差數(shù)列的公差為d，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)及通項公式化簡a₅+a₁₃=34，S₃=9，即可求出首項和公差，分別寫出通項公式及前n項和的公式即可；
（2）把（1）求得的通項公式a_n代入bn=

an

an+t

得到數(shù)列{b_n}的通項公式，因為b₁，b₂，b_m成等差數(shù)列，所以2b₂=b₁+b_m，利用求出的通項公式化簡，解出m，因為m與t都為正整數(shù)，所以得到此時t和m的值即可．

解答：解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d．由已知得

a5+a13=34 3a2=9

即

a1+8d=17 a1+d=3

解得

a1=1 d=2

．
故a_n=2n-1，S_n=n²
（2）由（1）知bn=

2n-1

2n-1+t

．要使b₁，b₂，b_m成等差數(shù)列，必須2b₂=b₁+b_m，
即2×

3

3+t

=

1

1+t

+

2m-1

2m-1+t

，（8分）．
移項得：

2m-1

2m-1+t

=

6

3+t

-

1

1+t

=

6+6t-3-t

(3+t)(1+t)

，
整理得m=3+

4

t-1

，
因為m，t為正整數(shù)，所以t只能取2，3，5．
當t=2時，m=7；當t=3時，m=5；當t=5時，m=4．
故存在正整數(shù)t，使得b₁，b₂，b_m成等差數(shù)列．

點評：此題考查學(xué)生靈活運用等差數(shù)列的性質(zhì)、通項公式及前n項和的公式化簡求值，是一道中檔題．