Question

已知橢圓C：（a>b>0）的離心率為，以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切。
（1）求橢圓C的方程；
（2）若過點M（2，0）的直線與橢圓C相交于兩點A，B，設(shè)P為橢圓上一點，且滿足（O為坐標(biāo)原點），當(dāng)時，求實數(shù)t取值范圍。

Answer 1

解：（1）由題意知，
所以，即a²=2b²
又因為，
所以a²=2，b²=1
故橢圓C的方程為。
（2）由題意知直線AB的斜率存在
設(shè)AB：y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y）
由得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0


∵
∴（x₁+x₂，y₁+y₂）=t（x，y），


∵點P在橢圓上，
∴
∴16k²=t²（1+2k²）
∵
∴
∴
∴
∴（4k²-1）（14k²+13）>0，
∴，
∴
∵16k²=t²（1+2k²），
∴
∴或
∴實數(shù)t取值范圍為（-2，-）∪（，2）。