Question

3．已知二項(xiàng)式（1+$\sqrt{2}$x）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ（x∈R，n∈N）
（1）若展開式中第五項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是第三項(xiàng)系數(shù)的3倍，求n的值；
（2）若n為正偶數(shù)時(shí)，求證：a₀+a₂+a₄+a₆+…+a_n為奇數(shù)．
（3）證明：C${\;}_{n}^{1}$+2C${\;}_{n}^{2}$•2+3C${\;}_{n}^{3}$•2²+…+nC${\;}_{n}^{n}$•2^n-1=n•3^n-1（n∈N⁺）

Answer 1

分析 （1）直接利用條件可得 $C_n^4=3•C_n^2{（\sqrt{2}）^2}$，由此求得n的值．
（2）當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí)，則 a₀+a₂+a₄+a₆+…+a_n=1+2${C}_{n}^{2}$+2²•${C}_{n}^{4}$+…+${2}^{\frac{n}{2}}$•${C}_{n}^{n}$，除第一項(xiàng)為奇數(shù)外，其余的各項(xiàng)都是偶數(shù)，從而證得結(jié)論．
（3）由k${C}_{n}^{k}$=n•${C}_{n-1}^{k-1}$，可得C${\;}_{n}^{1}$+2C${\;}_{n}^{2}$•2+3C${\;}_{n}^{3}$•2²+…+nC${\;}_{n}^{n}$•2^n-1=n（${C}_{n-1}^{0}$+${C}_{n-1}^{1}$×2+${C}_{n-1}^{2}$×2²+…+${C}_{n-1}^{n-1}$×2^n-1），再利用二項(xiàng)式定理證得所給的等式成立．

解答 解：（1）由題意可得 $C_n^4=3•C_n^2{（\sqrt{2}）^2}$，∴n=11．
（2）證明：當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí)，則 a₀+a₂+a₄+a₆+…+a_n=1+2${C}_{n}^{2}$+2²•${C}_{n}^{4}$+…+${2}^{\frac{n}{2}}$•${C}_{n}^{n}$，
除第一項(xiàng)為奇數(shù)外，其余的各項(xiàng)都是偶數(shù)，故1+2${C}_{n}^{2}$+2²•${C}_{n}^{4}$+…+${2}^{\frac{n}{2}}$•${C}_{n}^{n}$ 為奇數(shù)，
即a₀+a₂+a₄+a₆+…+a_n為奇數(shù)．
（3）∵k${C}_{n}^{k}$=n•${C}_{n-1}^{k-1}$，
∴C${\;}_{n}^{1}$+2C${\;}_{n}^{2}$•2+3C${\;}_{n}^{3}$•2²+…+nC${\;}_{n}^{n}$•2^n-1=n（${C}_{n-1}^{0}$+${C}_{n-1}^{1}$×2+${C}_{n-1}^{2}$×2²+…+${C}_{n-1}^{n-1}$×2^n-1）
=n•（1+2）^n-1=n•3^n-1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．