關(guān)于函數(shù)y=log2(x2-2x+3)有以下4個(gè)結(jié)論:
①定義域?yàn)椋?∞,-3]∪(1,+∞);
②遞增區(qū)間為[1,+∞);
③最小值為1;
④圖象恒在x軸的上方.
其中正確結(jié)論的序號(hào)是 .
【答案】分析:對(duì)于結(jié)論①求函數(shù)y=log2(x2-2x+3)的定義域只需要使x2-2x+3>0解出即可驗(yàn)證.
對(duì)于結(jié)論②遞增區(qū)間為[1,+∞),求復(fù)合函數(shù)的遞增區(qū)間.可設(shè)t=x2-2x+3,又f(t)=log2t是關(guān)于t的增函數(shù),故函數(shù)t=x2-2x+3的增區(qū)間即是y=log2(x2-2x+3)的增區(qū)間.
對(duì)于結(jié)論③最小值為1,因?yàn)閺?fù)合函數(shù)f(t)=log2t是關(guān)于t的增函數(shù),則t取最小值時(shí)f(t)最小,求函數(shù)函數(shù)t=x2-2x+3的最小值代入即可.
對(duì)于結(jié)論④圖象恒在x軸的上方,可判斷函數(shù)最小值在x軸的上方即可.
解答:解:函數(shù)y=log2(x2-2x+3),
對(duì)于結(jié)論①定義域?yàn)椋?∞,-3]∪(1,+∞).因?yàn)椋簒2-2x+3=(x-1)2+2恒大于0,所以定義域?yàn)镽.所以結(jié)論①是錯(cuò)誤的.
對(duì)于結(jié)論②遞增區(qū)間為[1,+∞);設(shè)t=x2-2x+3,在區(qū)間[1,+∞)上拋物線是增函數(shù)則t>2.又對(duì)數(shù)函數(shù)在t>2也為增函數(shù),故增區(qū)間為[1,+∞),正確.
對(duì)于結(jié)論③最小值為1,因?yàn)閺?fù)合對(duì)數(shù)函數(shù)f(t)=log2t是關(guān)于t的增函數(shù),則t取最小值f(t)最小.對(duì)于函數(shù)t=x2-2x+3在x=1處取得最小值,即t=2.代入f(2)=log22=1,所以函數(shù)y=log2(x2-2x+3)的最小值為1,即結(jié)論正確.
對(duì)于結(jié)論④圖象恒在x軸的上方,因?yàn)榻Y(jié)論③最小值為1正確,而最小值1在X軸上方,故結(jié)論正確.
故答案為②③④.
點(diǎn)評(píng):此題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域值域單調(diào)區(qū)間的問題.其中涉及到復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,最值的求法.有一定的技巧性,屬于中檔題目.