Question

16、關(guān)于函數(shù)y=log₂（x²-2x+3）有以下4個結(jié)論：
①定義域為（-∞，-3]∪（1，+∞）；
②遞增區(qū)間為[1，+∞）；
③最小值為1；
④圖象恒在x軸的上方．
其中正確結(jié)論的序號是

②③④

Answer 1

分析：對于結(jié)論①求函數(shù)y=log₂（x²-2x+3）的定義域只需要使x²-2x+3＞0解出即可驗證．
對于結(jié)論②遞增區(qū)間為[1，+∞），求復(fù)合函數(shù)的遞增區(qū)間．可設(shè)t=x²-2x+3，又f（t）=log₂^t是關(guān)于t的增函數(shù)，故函數(shù)t=x²-2x+3的增區(qū)間即是y=log₂（x²-2x+3）的增區(qū)間．
對于結(jié)論③最小值為1，因為復(fù)合函數(shù)f（t）=log₂^t是關(guān)于t的增函數(shù)，則t取最小值時f（t）最小，求函數(shù)函數(shù)t=x²-2x+3的最小值代入即可．
對于結(jié)論④圖象恒在x軸的上方，可判斷函數(shù)最小值在x軸的上方即可．

解答：解：函數(shù)y=log₂（x²-2x+3），
對于結(jié)論①定義域為（-∞，-3]∪（1，+∞）．因為：x²-2x+3=（x-1）²+2恒大于0，所以定義域為R．所以結(jié)論①是錯誤的．
對于結(jié)論②遞增區(qū)間為[1，+∞）；設(shè)t=x²-2x+3，在區(qū)間[1，+∞）上拋物線是增函數(shù)則t＞2．又對數(shù)函數(shù)在t＞2也為增函數(shù)，故增區(qū)間為[1，+∞），正確．
對于結(jié)論③最小值為1，因為復(fù)合對數(shù)函數(shù)f（t）=log₂^t是關(guān)于t的增函數(shù)，則t取最小值f（t）最�。畬τ诤瘮�(shù)t=x²-2x+3在x=1處取得最小值，即t=2．代入f（2）=log₂²=1，所以函數(shù)y=log₂（x²-2x+3）的最小值為1，即結(jié)論正確．
對于結(jié)論④圖象恒在x軸的上方，因為結(jié)論③最小值為1正確，而最小值1在X軸上方，故結(jié)論正確．
故答案為②③④．

點評：此題主要考查對數(shù)函數(shù)的定義域值域單調(diào)區(qū)間的問題．其中涉及到復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，最值的求法．有一定的技巧性，屬于中檔題目．