Question

6．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，首項(xiàng)a₁=1，且對(duì)于任意n∈N₊都有2S_n-na_n+1=0，數(shù)列{b_n}滿足b_n=$\frac{1}{{a}_{n}}$，T（n）是數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n≥2時(shí)，n+T（1）+T（2）+T（3）+…+T（n-1）=nT（n）
（3）設(shè)A_n=$\sqrt{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\sqrt{{a}_{2}{a}_{3}}$+…+$\sqrt{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，試證：$\frac{n（n+1）}{2}$＜A_n＜$\frac{（n+1）^{2}}{2}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)數(shù)列中a_n與前n項(xiàng)和為S_n的關(guān)系，化簡(jiǎn)2S_n-na_n+1=0得到$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=\frac{n+1}{n}$，利用累積法求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）由（1）求出b_n，再利用數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)論即可；
（3）由（1）可得${A}_{n}=\sqrt{1×2}+\sqrt{2×3}+…+\sqrt{n（n+1）}$，利用放縮法可得$\sqrt{n（n+1）}＞\sqrt{{n}^{2}}=n$，即可證明左邊不等式成立，再利用基本不等式得：$\sqrt{n（n+1）}＜\frac{n+（n+1）}{2}=n+\frac{1}{2}$，即可證明右邊不等式成立．

解答 解：（1）由題意得，①當(dāng)n=1時(shí)，2S₁-na₂=0，則a₂=2S₁=2a₁=2…1分，
②由2S_n-na_n+1=0得，2S_n+1-na_n+2=0，…2分
兩式相減得：2a_n+1-（n+1）a_n+2+na_n+1=0，即$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n+1}}=\frac{n+2}{n+1}$，
又$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}=\frac{2}{1}$，所以對(duì)于任意n∈N₊都有$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=\frac{n+1}{n}$…3分
所以a_n=${a}_{1}×\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}×\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}×…×\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$1×\frac{2}{1}×\frac{3}{2}×…×\frac{n}{n-1}=n$，
即對(duì)于任意n∈N₊都有a_n=n…5分；
證明：（2）由（1）知，b_n=$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{n}$，用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：
①當(dāng)n=2時(shí)，左邊=2+T_（1）=2+b₁=2+1=3，
右邊=2T_（2）（1+$\frac{1}{2}$）=3=左邊，所以n=2時(shí)結(jié)論成立…6分，
②假設(shè)n=k（k≥3）時(shí)結(jié)論成立，
則k+T（1）+T（2）+T（3）+…+T（k-1）=kT（k）…7分
那么當(dāng)n=k+1時(shí)，k+1+T（1）+T（2）+T（3）+…+T（k-1）+T（k）
=kT（k）+T（k）+1=（k+1）T（k）+1
=$（k+1）（{T}_{（k）}+\frac{1}{k+1}）$=（k+1）T_（k+1）…9分
綜上，當(dāng)n≥2時(shí)，n+T（1）+T（2）+T（3）+…+T（n-1）=nT（n）成立…10分
（3）由（1）知，${A}_{n}=\sqrt{1×2}+\sqrt{2×3}+…+\sqrt{n（n+1）}$，
先證左邊的式子：由于$\sqrt{n（n+1）}＞\sqrt{{n}^{2}}=n$，
所以${A}_{n}=\sqrt{1×2}+\sqrt{2×3}+…+\sqrt{n（n+1）}＞$1+2+3+…+n=$\frac{n（n+1）}{2}$…12分，
再證右邊的式子：由于$\sqrt{n（n+1）}＜\frac{n+（n+1）}{2}=n+\frac{1}{2}$，
所以${A}_{n}=\sqrt{1×2}+\sqrt{2×3}+…+\sqrt{n（n+1）}＜$1+2+3+…+n+$\frac{n}{2}$
=$\frac{n（n+1）}{2}+\frac{n}{2}$=$\frac{{n}^{2}+2n}{2}$＜$\frac{（n+1）^{2}}{2}$…14分
綜上，對(duì)于任意n∈N₊都有$\frac{n（n+1）}{2}$＜A_n＜$\frac{（n+1）^{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列中a_n與前n項(xiàng)和為S_n的關(guān)系，累積法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及數(shù)學(xué)歸納法、放縮法、基本不等式的在數(shù)列中應(yīng)用，綜合強(qiáng)，屬于難題．