【題目】已知冪函數(shù) 在(0,+∞)上為增函數(shù),g(x)=f(x)+2
(1)求m的值,并確定f(x)的解析式;
(2)對(duì)于任意x∈[1,2],都存在x1 , x2∈[1,2],使得f(x)≤f(x1),g(x)≤g(x2),若f(x1)=g(x2),求實(shí)數(shù)t的值;
(3)若2xh(2x)+λh(x)≥0對(duì)于一切x∈[1,2]成成立,求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.

【答案】
(1)解:由冪函數(shù)的定義可知:m2+m﹣1=1 即m2+m﹣2=0,

解得:m=﹣2,或m=1,

∵f(x)在(0,+∞)上為增函數(shù),∴﹣2m2+m+3>0,解得﹣1<m<

綜上:m=1

∴f(x)=x2


(2)解:g(x)=﹣x2+2|x|+t

據(jù)題意知,當(dāng)x∈[1,2]時(shí),fmax(x)=f(x1),gmax(x)=g(x2

∵f(x)=x2在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞增,

∴fmax(x)=f(2)=4,即f(x1)=4

又∵g(x)=﹣x2+2|x|+t=﹣x2+2x+t=﹣(x﹣1)2+1+t

∴函數(shù)g(x)的對(duì)稱軸為x=1,∴函數(shù)y=g(x)在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞減,

∴gmax(x)=g(1)=1+t,即g(x2)=1+t,

由f(x1)=g(x2),得1+t=4,∴t=3


(3)解:當(dāng)x∈[1,2]時(shí),2xh(2x)+λh(x)≥0等價(jià)于2x(22x﹣22x)+λ(2x﹣2x)≥0

即λ(22x﹣1)≥﹣(24x﹣1),∵22x﹣1>0,∴λ≥﹣(22x+1)

令k(x)=﹣(22x+1),x∈[1,2],下面求k(x)的最大值;

∵x∈[1,2]∴﹣(22x+1)∈[﹣17,﹣5∴kmax(x)=﹣5

故λ的取值范圍是[﹣5,+∞)


【解析】(1)由冪函數(shù)的定義得:m=﹣2,或m=1,由f(x)在(0,+∞)上為增函數(shù),得到m=1,由此能求出f(x).(2)g(x)=﹣x2+2|x|+t,據(jù)題意知,當(dāng)x∈[1,2]時(shí),fmax(x)=f(x1),gmax(x)=g(x2),由此能求出t.(3)當(dāng)x∈[1,2]時(shí),2xh(2x)+λh(x)≥0等價(jià)于λ(22x﹣1)≥﹣(24x﹣1),由此能求出λ的取值范圍.

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