Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²+bln（x+1），其中b≠0
（1）若b=-12，求f（x）在[1，3]的極小值；
（2）如果f（x）在定義域內(nèi)既有極大值又有極小值，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（3）證明不等式：x³≥x²-ln（x+1）（x≥0）

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,不等式的證明

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)b=-12時(shí)令由f′（x）=

2x2+2x-12

x+1

=0得x=2則可判斷出當(dāng)x∈[1，2）時(shí)，f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（2，3]時(shí)，f（x）單調(diào)遞增故f（x）在[1，3]的極小值在x=2時(shí)取得．
（2）要使f（x）在定義域內(nèi)既有極大值又有極小值即f（x）在定義域內(nèi)與X軸有三個(gè)不同的交點(diǎn)即使f′（x）=

2x2+2x+b

x+1

=0在（-1，+∞）有兩個(gè)不等實(shí)根即2x²+2x+b=0在（-1，+∞）有兩個(gè)不等實(shí)根這可以利用一元二次函數(shù)根的分布可得

△=4-8b＞0 g(-1)＞0

解之求b的范圍．
（3）先構(gòu)造函數(shù)h（x）=x³-x²+ln（x+1），然后研究h（x）在[0，+∞）上的單調(diào)性，求出函數(shù)h（x）的最小值，從而得到ln（x+1）＞x²-x³．

解答： 解：（1）由題意知，f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）
b=-12時(shí)，由f′（x）=

2x2+2x-12

x+1

=0，得x=2（x=3舍去），
當(dāng)x∈[1，2）時(shí)f′（x）＜0，當(dāng)x∈（2，3]時(shí)，f′（x）＞0，
所以當(dāng)x∈[1，2）時(shí)，f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（2，3]時(shí)，f（x）單調(diào)遞增，
所以f（x）_極小值=f（2）=4-12ln³
（2）由題意f′（x）=

2x2+2x+b

x+1

=0在（-1，+∞）有兩個(gè)不等實(shí)根，
即2x²+2x+b=0在（-1，+∞）有兩個(gè)不等實(shí)根，
設(shè)g（x）=2x²+2x+b，則

△=4-8b＞0 g(-1)＞0

，解之得0＜b＜

1

2

（3）當(dāng)b=-1時(shí)，f（x）=x²-ln（x+1）．令h（x）=x³-f（x）=x³-x²+ln（x+1），
則h′（x）=

3x3+(x-1)2

x+1

在[0，+∞）上恒正
∴h（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，
當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，恒有h（x）＞h（0）=0
即當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，有x³-x²+ln（x+1）＞0，
即x³≥x²-ln（x+1）．

點(diǎn)評(píng)：本題第一問(wèn)較基礎(chǔ)只需判斷f（x）在定義域的單調(diào)性即可求出極小值．而第二問(wèn)將f（x）在定義域內(nèi)既有極大值又有極小值問(wèn)題利用數(shù)形結(jié)合的思想轉(zhuǎn)化為f（x）在定義域內(nèi)與X軸有三個(gè)不同的交點(diǎn)．主要考查了函數(shù)的單調(diào)性，以及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用和不等式的證明方法，屬于中檔題．