Question

已知函數(shù)f（x）=x³+x²-ax（a∈R）．
（1）當a=0時，求與直線x-y-10=0平行，且與曲線y=f（x）相切的直線的方程；
（2）求函數(shù)g（x）=

f(x)

x

-alnx（x＞1）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）如果存在a∈[3，9]，使函數(shù)h（x）=f（x）+f′（x）（x∈[-3，b]）在x=-3處取得最大值，試求b的最大值．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)切線斜率的關(guān)系，求得斜率，由點斜式寫出切線方程；
（2）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間即可；
（3）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值的方法，通過分類討論得出b的最大值．

解答： 解：（1）設(shè)切點為T（x₀，x₀³+x₀²），由f′（x）=3x²+2x及題意
得3 x₀²+2 x₀=1．                                     …（2分）
解得x₀=-1，或x₀=

1

3

．
所以T（-1，0）或T（

1

3

，

4

27

）．
所以切線方程為x-y+1=0或27x-27y-5=0．           …（4分）
（2）因為g（x）=x²+x-a-alnx（x＞1），
所以由g′（x）=2x+1-

a

x

＞0，得2x²+x-a＞0．      …（6分）
令φ（x）=2x²+x-a（x＞1），因為φ（x）在（1，+∞）遞增，所以φ（x）＞φ（1）=3-a．
當3-a≥0即a≤3時，g（x）的增區(qū)間為（1，+∞）；        …（8分）
當3-a＜0即a＞3時，
因為φ（1）=3-a＜0，所以φ（x）的一個零點小于1、另一個零點大于1．
由φ（x）=0得零點x₁=

-1- 1+8a

4

＜1，x₂=

-1+ 1+8a

4

＞1，
從而φ（x）＞0（x＞1）的解集為（

-1+ 1+8a

4

，+∞），
即g（x）的增區(qū)間為（

-1+ 1+8a

4

，+∞）．      …（10分）
（3）方法一：h（x）=x³+4x²+（2-a）x-a，h′（x）=3x²+8x+（2-a）．
因為存在a∈[3，9]，令h′（x）=0，得x₁=

-4- 3a+10

3

，x₂=

-4+ 3a+10

3

．
當x＜x₁或x＞x₂時，h′（x）＞0；當x₁＜x＜x₂時，h′（x）＜0．
所以要使h（x）（x∈[-3，b]）在x=-3處取得最大值，
必有

x1≤-3 x2＞-3

解得a≥5，即a∈[5，9]．  …（13分）
所以存在a∈[5，9]使h（x）（x∈[-3，b]）在x=-3處取得最大值的充要條件為h（-3）≥h（b），
即存在a∈[5，9]使（b+3）a-（b³+4b²+2b-3）≥0成立．
因為b+3＞0，所以9（b+3）-（b³+4b²+2b-3）≥0，即（b+3）（ b²+b-10）≤0．
解得

-1- 41

2

≤b≤

-1+ 41

2

，所以b的最大值為

-1+ 41

2

． …（16分）
方法二：h（x）=x³+4x²+（2-a）x-a，
據(jù)題意知，h（x）≤h（-3）在區(qū)間[-3，b]上恒成立．
即（x³+27）+4（x²-9）+（2-a）（x+3）≤0，（x+3）（x²+x-1-a）≤0   ①．
若x=-3時，不等式①成立；
若-3＜x≤b時，不等式①可化為x²+x-1-a≤0，即x²+x≤1+a  ②．…（13分）
令ψ（x）=x²+x．
當-3＜b≤2時，ψ（x）在區(qū)間[-3，b]上的最大值為ψ（-3）=6，
不等式②恒成立等價于6≤1+a，a≥5，符合題意；
當b≥2時，ψ（x）的最大值為ψ（b）=b²+b，不等式②恒成立等價于b²+b≤1+a．
由題意知這個關(guān)于a的不等式在區(qū)間[3，9]上有解．
故b²+b≤（1+a）_max，即b²+b≤10，b²+b-10≤0，解得2＜b≤

-1+ 41

2

．
綜上所述，b的最大值為

-1+ 41

2

，此時唯有a=9符合題意．…（16分）

點評：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的切線方程、判斷函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)最值等知識，考查分類討論思想的運用能力，綜合性強，屬難題．