Question

如圖，在底面是矩形的四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=AB=1，BC=2．
（I）求證：平面PDC⊥平面PAD；
（Ⅱ）若E是PD的中點，求異面直線AE與PC所成的角；
（Ⅲ）在線段BC上是否存在一點G，使得點D到平面PAG的距離為1，若存在，求出BG的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）以A人坐標(biāo)原點，AB，AD，AP分別為X，Y，Z軸的正方向，建立空間坐標(biāo)系，分別求出直線CD，AD，AP的方向向量，代入向量數(shù)量積公式，可得CD與AD及AP均垂直，結(jié)合線面垂直的判定定理，可得CD⊥平面PAD，進而根據(jù)面面垂直的判定定理，得到平面PDC⊥平面PAD；
（Ⅱ）求出異面直線AE與PC的向量，代入向量夾角公式，即可得到異面直線AE與PC所成的角；
（Ⅲ）設(shè)BG=x，我們則求出G點坐標(biāo)，作DQ⊥AG，易得DQ⊥平面PAG，即DQ=1，由此構(gòu)造關(guān)于x的方程，解方程即可得到x的值，進而求出BG的值．

解答：解：以A人坐標(biāo)原點，AB，AD，AP分別為X，Y，Z軸的正方向，建立空間坐標(biāo)系，
則A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，2，0），D（0，2，0），E（0，1，

1

2

），P（0，0，1）
∴

CD

=（-1，0，0），

AD

=（0，2，0），

AP

=（0，0，1），

AE

=（0，1，

1

2

），

PC

=（1，2，-1）
證明：（I）∵

CD

•

AD

=0，

CD

•

AP

=0
∴CD⊥AD，CD⊥AP
又∵AD∩AP=A
∴CD⊥平面PAD，
又∵CD?平面PDC
∴平面PDC⊥平面PAD
（II）cos＜

AE

，

PC

＞=

AE • PC

| AE |•| PC |

=

30

10

∴異面直線AE與PC所成的角為arccos

30

10

（III）假設(shè)BC邊上存在一點G滿足題設(shè)條件，令BG=x，
則G（1，x，0），作DQ⊥AG，則DQ⊥平面PAC，即DQ=1，
∵2S_△ADC=S_矩形ABCD
∴|

AG

|•|

DQ

|=|

AB

|•|

AD

|=2
∴|

AG

|=2，又∵|

AG

|=

x2+1

是x=

3

＜2
故線段BC上是否存在一點G，使得點D到平面PAG的距離為1

點評：本題考查的知識點是點到平面的距離，異面直線及其所成的角，平面與平面垂直的判定，其中建立適當(dāng)?shù)目臻g坐標(biāo)系，將空間中直線與平面的夾角問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題，是解答本題的關(guān)鍵．